语言模型

语言模型（Language Model）通过对句子的上下文特征进行数学建模，来回答一个问题：出现的句子是否合理。
语言模型是自然语言的基础，广泛应用于机器翻译、语音识别、拼写纠错、输入法、手写体识别等。

对于一个由单词构成的句子$s=w_1{w}_2...w_n$，其概率计算公式：

$$\begin{array}{rl}p(s)& =p(w_1)p(w_2\mid w_1)p(w_3\mid w_1{w}_2)...p(w_n\mid w_1...w_{n-1})\\ & =\prod _{i=1}^{n}p(w_i\mid w_1...,w_{n-1})\end{array}$$

在统计语言模型中，一般采用极大似然来计算每个词出现的条件概率：

$$p(w_i\mid w_1...,w_{i-1})=\frac{Count(w_1,w_2,...,w_i)}{{\sum }_{w}Count(w_1,w_2,...,w_i,w)}$$

假设词汇集的大小为$L$，对于一个长度为$n$的句子进行建模，则需要计算$L^n$个参数。假设$L=5000，n=3$，则参数个数就是1250亿个。

为解决参数空间过大的问题，引入了马尔可夫假设，即第$N$个词出现的概率只与前面出现的$N-1$个词有关，称为n-gram。

$n=1$，一元模型（unigram），即每个词之间都是相互独立的：
$$p(s)=\prod _{i=1}^{n}p(w_i)$$

$n=2$，二元模型（bigram）

$$p(s)=\prod _{i=1}^{n}p(w_i\mid w_{i-1})$$

$n=3$，三元模型（trigram）

$$p(s)=\prod _{i=1}^{n}p(w_i\mid w_{i-2},w_{i-1})$$