一把武器，最低是1级，最高可以升到9级，每次升级成功率30%，失败率70%。失败会退一级，在1级的时候如果失败则仍然为1级。问：该武器从1级升到9级的所需次数的期望？
记从第k-1级升到第k级所需次数的期望是E_k。
假设武器处于k级，那么从k级升到k+1所需次数的期望E_(k+1) 如何求呢？ 分为两种情况：
（1）、从k到k+1第一次成功，概率是0.3，所需次数是1 本文地址
（2）、第一次不成功，退回到了k-1级，概率是0.7，这时需要先从k-1上升到k（需要的次数期望是E_k），再从k上升到k+1(需要的次数期望是E_(k+1))，总的所需次数是 E_k + E_(k+1) + 1。
根据期望的计算公式可以得到： E_(k+1) = 0.3*1 + 0.7*(E_k + E_(k+1) + 1)
上式化简为：0.3E_(k+1) = 0.7E_k + 1
作简单变换可得：0.3(E_(k+1) + 2.5) = 0.7(E_k + 2.5)
很明显E_k+2.5 是等比数列，可以很容易求得E_k的通项公式。
那么最终从1级上升到9级所需次数期望 = E_2 + E_3 + E_4 + … + E_9， 可以根据等比数列求和公式求得。
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