题意
数论中的错排问题。记错排为DnDn，求Dnn!Dnn!。
分析
显然D1=0,D2=1D1=0,D2=1。当n≥3n≥3时，不妨设n排在了第k位，其中k≠nk≠n，也就是1≤k≤n−11≤k≤n−1。那么我们现在考虑k的情况。
- 当k排在第n位时，n放k、k放n确定，因而除了n和k以外还有n-2个数，其错排数为Dn−2Dn−2。
- 当k不排在第n位时，由于n在第k位，那么将第n位重新考虑成一个新的“第k位”，那么注意到“n在k”是确定的。剩下的排布方式同原来一致，只是k等价于n，因此：其错排数为Dn−1Dn−1。
我们认真思考一下这个“重新考虑”是什么意思。 n在k，这是一个固定的条件，故这里不作考虑；而其他的元素必定不在各自的位置，k也是：它必定不在n！因而，这里相当于n−1n−1个元素的错排问题。
综上，当nn排在第kk位时共有Dn−2+Dn−1Dn−2+Dn−1种错排方法，又kk有从11到n−1n−1共n−1n−1种取法，我们可以得到：Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)Dn=(n−1)(Dn−1+Dn−2)
更多其他方法另请参见一位不愿具名的同学的题解。
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <cstdlib>#define inf 0x3f3f3f3f
#define PB push_back
#define MP make_pair
#define fi first
#define se second
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); i--)
#define pr(x) cout << #x << " = " << x << " ";
#define prl(x) cout << #x << " = " << x << endl;
#define ZERO(X) memset((X), 0, sizeof(X))
#define ALL(X) (X).begin(), (X).end()
#define SZ(x) (int)x.size()using namespace std;typedef pair<int, int> PI;
typedef pair<pair<int, int>, int> PII;
typedef pair<pair<pair<int, int>, int>, int> PIII;
using ull = unsigned long long;
using ll = long long;
using ld = long double;
#define quickio \ios::sync_with_stdio(false); \cin.tie(0); \cout.tie(0)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__), fflush(stderr)
/* debug("Precalc: %.3f\n", (double)(clock()) / CLOCKS_PER_SEC);
clock_t z = clock();solve();//debug("Test: %.3f\n", (double)(clock() - z) / CLOCKS_PER_SEC);
*/
template <typename T = int>
inline T read()
{T val = 0, sign = 1;char ch;for (ch = getchar(); ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar())if (ch == '-')sign = -1;for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar())val = val * 10 + ch - '0';return sign * val;
}
int main()
{ll arr[25];arr[1] = 0;arr[2] = 1;ll jc[25];jc[1] = 1;jc[2] = 2;for (int i = 3; i <= 20; ++i){arr[i] = (i - 1) * (arr[i - 1] + arr[i - 2]);jc[i] = jc[i - 1] * i;}int T;cin >> T;while (T--){int n;cin >> n;cout << fixed << setprecision(2)<< double(arr[n]) * 100.0 / jc[n] << "%" << endl;}return 0;
}修改于20180524，进一步方便自己回顾对错排问题的理解。