原始的SVM早在1963年就被发明了，但直到1992年才发明了核方法，使得SVM可以用于非线性分类。

SVM的应用：
handwritten character recognition手写字符识别
face detection 人脸检测
pedestrian detection行人检测
text categorization 文本分类

SVM把训练样本都看作高维空间的点，找一个超平面，使得两类样本尽可能宽地分开。新来的测试样本被映射到同一个空间，看它在hyperlane的哪一侧就能线性二分类。

Note:  p维空间是用p-1维的Hyperlane分隔开的。

SVM，顾名思义，支持向量是对于求解学习模型的关键（实际上SVM最终的模型只和支持向量有关，和其他的数据点向量无关），所以问题求解的复杂度直接和支持向量的个数有关。所以先说两个重点基础概念——margin & support vector。

（一） 间隔和支持向量

SVM（Support Vector Machine）的思想和其他线性模型做2分类一样，都是找个超平面（hyperplan）然后一刀切。但SVM这么成功(在90年代直接造成了NN的第二冬)，自然有其独到之处，那就是在超平面的概念上，多引入了“间隔”和"支持向量"的概念。

可实现分类的超平面不唯一，我们怎么选择一个更好的超平面呢？直观上，应该是去找位于两类样本的“正中间”的那个。

超平面的方程：
$$w^{T}x+b=0$$
$w$是法向量，他的方向与超平面正交，决定超平面的方向 ；
b是位移项，决定超平面和原点的距离。
这俩参数完全决定了超平面，所以就直接把超平面记为$（w,b）$。
（实际上最小二乘回归，逻辑回归好不容易求解出来的线性模型也是个超平面，LDA最后求出来的是个过原点的超平面，b=0）

超平面建模完毕，那么空间中任意一点到它的距离：
$$r=\frac{w^{T}x+b}{||w||}$$
不明白可以以二维为例,二维空间的对应的划分超平面是一条直线$w_1{x}_1+w_2{x}_2+b=0$,点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$,则点到超平面的距离为$r=\frac{|w_1{x}_1+w_2{x}_2+b|}{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}$,推广到高维就明白上式了。

可正确分类的超平面满足：
$$\{\begin{array}{rlr}{w}^T{x}_i+b>0& ,& y_i=+1\\ w^T{x}_i+b<0& ,& y_i=-1\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
but! 我们现在不仅要正确分类，而且要提出更高的标准，要留有“裕量”，即“间隔”：
$$\{\begin{array}{rlr}{w}^T{x}_i+b\ge +1& ,& y_i=+1\\ w^T{x}_i+b\le -1& ,& y_i=-1\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
支持向量support vector：使(2)中不等式的等号成立的那些距离超平面最近的那几个训练样本点。
间隔margin：两个异类支持向量到超平面的距离之和。$\gamma =\frac{2}{||w||}$

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(二)SVM的对偶问题推导

前面讲了间隔（硬间隔），我们希望硬间隔$\gamma =\frac{2}{||\mathbf{w}|{|}_2}$尽量大，也就是$||\mathbf{w}|{|}_2$尽量小，so问题转化为
$$\min \frac{1}{2}||\mathbf{w}|{|}_2^2,s.t.\{\begin{array}{rlr}{\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b\ge +1& ,& y_i=+1\\ {\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b\le -1& ,& y_i=-1\end{array}$$
即
(1)min⁡12∣∣w∣∣22,s.t.yi(wTx+b)≥1,yi∈{+1,−1}\min \frac12||\boldsymbol w||^2_2,\quad s.t.\quad y_i(\boldsymbol w^T \boldsymbol x+b)\geq1,y_i\in\left\{+1,-1\right\}\tag1min21​∣∣w∣∣22​,s.t.yi​(wTx+b)≥1,yi​∈{+1,−1}(1)

这是个二次规划问题（目标函数是变量的二次函数，约束是变量的线性不等式），并且标准形式中的Q矩阵在这里就是单位阵E，E是正定的，所以这是个凸二次规划，且在约束规定的可行域内有唯一的全局最小解。（关于二次规划详细介绍请移步xxxx）

常见的通用的二次规划算法有椭球法（ellipsoid method），内点法(interior point)，增广拉格朗日法(augmented Lagrangian)，梯度投影法(gradient projection)，etc. 但是这个问题的规模正比于训练样本数，开销很大，所以需要根据问题特点开发更高效的算法，1998年由Platt提出的SMO算法就是典型代表。

先暂时不管具体求解，先把问题再深入分析分析，分析完了再说用SMO怎么求解$\mathbf{\alpha }$。

我们先用之前学的拉格朗日乘子法把问题转化为它的对偶问题（dual problem），共m个样本组成的不等式约束，那就引入m个KKT乘子(松弛变量)${\alpha }_i({\alpha }_i\ge 0)$(这里不明白的话请移步我的这篇博客),把约束写进目标函数中，构造出拉格朗日函数为：

(2)L(w,b,α)=[12wTw+∑i=1mαi(1−yi(wTx+b))],αi≥0,yi∈{+1,−1}L(\boldsymbol w,b,\boldsymbol \alpha)=[ \frac12 \boldsymbol w^T\boldsymbol w+\sum_{i=1}^m\alpha_i(1-y_i(\boldsymbol w^T \boldsymbol x+b))],\alpha_i\geq0,y_i\in\left\{+1,-1\right\} \tag2L(w,b,α)=[21​wTw+i=1∑m​αi​(1−yi​(wTx+b))],αi​≥0,yi​∈{+1,−1}(2)

松弛变量(slack variable)和训练样本是一一对应的。（one-to-one relationship）

为了得到拉格朗日对偶函数，对变量$\mathbf{w},b$求偏导等于0，分别得到：

$$\mathbf{w}=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i,\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0\text{\hspace{1em}(3)}$$
也就是说，法向量$\mathbf{w}$等于m个样本点向量的加权和，加权系数是${\alpha }_i{y}_i$,且这些加权系数之和为0.

把（3）代回拉格朗日函数（2），得到拉格朗日对偶函数：

g(α)=[12(∑i=1mαiyix)T(∑i=1mαiyix)−∑i=1mαi],yi∈{+1,−1}g(\boldsymbol \alpha)= [\frac12 \boldsymbol (\sum_{i=1}^m\alpha_iy_i\boldsymbol x)^T\boldsymbol (\sum_{i=1}^m\alpha_iy_i\boldsymbol x)-\sum_{i=1}^m\alpha_i]\quad, y_i\in\left\{+1,-1\right\} g(α)=[21​(i=1∑m​αi​yi​x)T(i=1∑m​αi​yi​x)−i=1∑m​αi​],yi​∈{+1,−1}

则拉格朗日对偶问题为：

$$\underset{\mathbf{\alpha }}{\max }[\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\alpha }_j{y}_j{{\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}}^T{\mathbf{x}}_{\mathbf{j}}-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i],s.t.\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,{\alpha }_i\ge 0\text{\hspace{1em}(4)}$$

记录一下：我至今没懂为啥第二项符号是负？？？？？？

由于SVM的模型里有不等式约束，所以必须满足KKT条件：
$$\{\begin{array}{r}{\alpha }_i\ge 0\\ y_{i}f(x_i)-1\ge 0\\ {\alpha }_i(y_{i}f(x_i)-1)=0\end{array}$$
这三个式子就表明：非支持向量的KKT乘子为0，在式（3）求法向量时根本不做贡献，只有支持向量（满足KKT条件2的样本点）对模型求解有贡献。

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(三)对偶问题具体求解（SMO算法）

前面第二节把SVM的基本模型转化为了对偶问题。由于原问题是凸优化问题，且训练样本里一定至少有一个非支持向量使得slater’s condition成立，所以强对偶成立，所以原问题的最优解就是对偶问题的最优解，这节就来具体讲怎么求出对偶问题的参数$\mathbf{\alpha }$.

SMO算法是解析的方式求解，而不是数值优化，所以非常高效快速。

基本思路：每次选两个优化变量${\alpha }_i,{\alpha }_j$,固定其他$m-2$个变量。即初始化参数$\mathbf{\alpha }$后，迭代两个步骤till convergence：

1. 选一对需要更新的变量${\alpha }_i,{\alpha }_j$
2. 固定其他$m-2$个变量，解析求出更新后的${\alpha }_i,{\alpha }_j$

可以看出，这个思路像极了坐标上升/下降，不过坐标上升/下降是一次优化一个变量，这里一次优化两个而已。那这里为啥要优化俩呢？这是因为第二节的公式（4），也就是最后的对偶问题里有个约束
$$\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0$$
如果你一次只选一个变量进行优化固定其他$m-1$个，那这个约束使得被选中的变量也直接固定下来了。。没得优化了。于是那就一次选俩,则有：
$${\alpha }_i{y}_i+{\alpha }_j{y}_j=-\sum _{k=1,k̸=i,j}^m{\alpha }_k{y}_k=c\text{\hspace{1em}(1)}$$
把${\alpha }_j$用${\alpha }_i$表示，代回第二节的（4），则对偶问题只有一个变量（${\alpha }_i$）,成了一个单变量的二次规划问题，直接对${\alpha }_i$求导等于0，就可以解析求出更新后的${\alpha }_i^{\ast }$，再代入本节（1），求出更新后的${\alpha }_j^{\ast }$。涉及到的全是解析步骤，没有一点数值迭代优化的内容，求出来的都是闭式解（即解析解），所以极其高效。

那么关键问题来了，每次依据什么准则选两个变量呢？

1. 第一个变量：选择KKT条件违背程度最大的变量。
   我们知道，KKT条件是成为极值点的必要条件，满足KKT则有可能是极值点。现在还没找到极值点，所以KKT肯定不满足。那么优化KKT违背程度越大的变量，目标函数的变化幅度越大。
   回顾KKT：
   $$\{\begin{array}{r}{\alpha }_i\ge 0(1)\\ y_{i}f(x_i)-1\ge 0(2)\\ {\alpha }_i(y_{i}f(x_i)-1)=0(3)\end{array}$$
   对偶问题中，只有$\mathbf{\alpha }$是未知变量，$\mathbf{w},b$都已知。和${\alpha }_i$有关的只有(1)(3),而（1）是对偶问题的约束，必须满足，所以初始化$\mathbf{\alpha }$时一定是满足（1）的。

至于条件（3）：

• 若$y_{i}f(x_i)-1̸=0$,则 ${\alpha }_i$ 必须为0，所以若${\alpha }_i̸=0$,则违背KKT，且${\alpha }_i$越大,违背程度越大。
• 若$y_{i}f(x_i)-1=0$,则${\alpha }_i\ge 0$ ,怎么都不会违背。

2. 第二个变量:选择对应样本点和第一个变量对应的样本点距离最远的变量。这样两个变量的差别很大，对目标函数带来的变化会比更新两个相似变量大。

求出$\mathbf{\alpha }$后，$\mathbf{w}$由下式求出：
$$\mathbf{w}=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i\text{\hspace{1em}(2)}$$

而偏移项$b$的求解就要用到支持向量$({\mathbf{x}}_s,y_s)$了：
$$y_s({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_s+b)=1$$
但支持向量通常不止一个，所以b的解也不唯一，现实中常用所有支持向量求出的b的平均值作为最终解，这样比较鲁棒：

$$b=\frac{1}{|S|}\sum _{s\in S}(y_s-{\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_s)=\frac{1}{|S|}\sum _{s\in S}(y_s-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_s)\text{\hspace{1em}(3)}$$

$S$是支持向量集，$|S|$是支持向量的个数

由（2）（3），$\mathbf{w},b$只和支持向量有关。直观上也很好理解，看下图，SVM的思想不像逻辑回归那样去拟合每个样本点，而是直接去找个划分平面把两类分开，那这个平面自然应该在两类的边界向量中间，它的位置$b$和方向$\mathbf{w}$（$\mathbf{w}$的方向不是划分平面的方向，而是和划分平面正交）都由这两类样本的边界上的点决定。$\mathbf{w}$定了后，每个支持向量都能算出一个$b$,对应的平面和我们想要的超平面平行，但过那个支持向量，所以最终$b$用（3）这种方式算，使划分超平面位于两类的正中间。

至此为止，则SVM的线性二分类模型参数全部求解完毕，训练完成。

感觉还是很神奇的，这么简单的一个想法，竟然能写出这么多的复杂的数学推导，而且最后得到的结论还和直观思考结果完全吻合，不得不叹服数学的神奇和强大，把朴素的思想用数学表示出来，很难，但一旦做到了，就贡献老大了。

呜呼！关于引入核方法把SVM用于非线性分类，后面会另开博文详细分析。