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一.平面点集与多元函数
1.平面点集
(1)坐标平面与平面点集:

注:①或简称"数对"
②一般地,对于$\forall 2$个数集(或点集)$A,B$,记A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}A×B=\{(x,y)\,|\,x∈A,y∈B\}A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B},称为$A$与$B$的直积;例如A={(u,v)∣u2+v2≤1},B=[0,1]A=\{(u,v)\,|\,u^2+v^2≤1\},B=[0,1]A={(u,v)∣u2+v2≤1},B=[0,1],则A×B={(u,v,w)∣u2+v2≤1,0≤w≤1}A×B=\{(u,v,w)\,|\,u^2+v^2≤1,0≤w≤1\}A×B={(u,v,w)∣u2+v2≤1,0≤w≤1}

(2)邻域与空心邻域:

注:空心邻域又称去心邻域

(3)点与点集的关系:


(4)一些重要的平面点集:

约定空集$\Phi$既是开集又是闭集;还可证明在一切平面点集中,除空集外,只有R2={(x,y)∣x,y∈R}R^2=\{(x,y)\,|\,x,y∈R\}R2={(x,y)∣x,y∈R}既是开集又是闭集

(5)点集的直径:

根据距离概念,可证明:对$R^2$上$\forall 3$点$P_1,P_2,P_3$,都有$$\rho (P_1,P_2)\le \rho (P_1,P_3)+\rho (P_2,P_3)$$上式称为三角不等式

2.$R^2$上的完备性定理

(1)平面点列的收敛性:

定理16.1(柯西准则):平面点列{Pn}\{P_n\}{Pn​}收敛的充要条件是:对$\forall \epsilon >0,\exists N\in N_{+}$,使得当$n>N$时,对$\forall p\in N_{+}$,有$$\rho (P_n,P_{n+p})<\epsilon$$

(2)闭域套定理:

定理16.2:设{Dn}\{D_n\}{Dn​}是$R^2$中的闭域列,其满足:
①$D_{n+1}\subset D_n(n=1,2...)$
②$d_n=d(D_n),\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n=0$
则$\exists$唯一的点$P_0\in D_n(n=1,2...)$




闭域套定理是$R$中闭区间套定理(定理7.1)的直接推广
另外,把{Dn}\{D_n\}{Dn​}改为闭集套时,定理16.2仍成立

推论:对上述闭域套{Dn}\{D_n\}{Dn​},任给$\epsilon >0,\exists N\in N_{+}$,当$n>N$时,有$D_n\subset U(P_0;\epsilon )$

(3)聚点定理:

定理16.3:设$E\subset R^2$为有界无限点集,则$E$在$R^2$中至少有1个聚点

定理16.3’:有界无限点列{Pn}⊂R2\{P_n\}\sub R^2{Pn​}⊂R2必存在收敛子列{Pnk}\{P_{n_k}\}{Pnk​​}

(4)有限覆盖定理:

定理16.4:设$D\subset R^2$为1有界闭域,{Δα}\{Δ_α\}{Δα​}为1开域族,它覆盖了$D$(即$D\subset {\cup }_{\alpha }{\Delta }_{\alpha }$),则在{Δα}\{Δ_α\}{Δα​}中必定存在有限个开域${\Delta }_1,{\Delta }_2...{\Delta }_n$,它们同样覆盖了$D$(即$D\subset {\cup }_{\alpha =1}^n{\Delta }_i$)

在更一般的情况下,可将该定理中的$D$改为有界闭集,从而${\Delta }_{\alpha }\subset R^2$为1族开集,此时定理仍成立

3.二元函数
(1)定义:

(2)有界函数与无界函数:

4.多元函数:

二.二元函数的极限

1.二元函数的极限
(1)二元函数极限的定义:


(2)二元函数极限的存在性:

定理16.5:$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)=A$的充要条件是:对于$D$的任一子集$E$,只要$P_0$是$E$的聚点,就有$$\underset{P\to P_0,P\in E}{\lim }f(P)=A$$

推论1:设$E_1\subset D,P_0$是$E_1$的聚点,若$\underset{P\to P_0,P\in E_1}{\lim }f(P)$不存在,则$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)$也不存在

推论2:设$E_1,E_2\subset D,P_0$是它们的聚点,若存在极限$$\underset{P\to P_0,P\in E_1}{\lim }f(P)=A_1,\underset{P\to P_0,P\in E_2}{\lim }f(P)=A_2$$但$A_1\ne A_2$,则$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)$不存在

推论3:极限$\underset{P\to P_0,P\in D}{\lim }f(P)$存在的充要条件是:对于$D$中任一满足$P_n\ne P_0$且$\underset{n\to \infty }{\lim }{P}_n=P_0$的点列{Pn}\{P_n\}{Pn​},它对应的数列{f(Pn)}\{f(P_n)\}{f(Pn​)}都收敛

下面2个例子是上述定理及推论的应用:

(3)二元函数非正常极限的定义:


(4)二元函数极限的运算法则:

2.重极限累次极限
(1)重极限与累次极限:



(2)重极限与累次极限的关系:

重极限与累次极限是2个不同的概念,二者的存在性没有必然的蕴含关系

但重极限和累次极限在一定条件下也是有联系的
定理16.6:若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$存在重极限$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$与累次极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)(或\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y))$$则二者必相等


注意:①该定理保证了重极限和1个累次极限都存在时,二者必相等,但却得不出另1个累次极限的存在性的结论
②可以给出较该定理弱一些的充分条件:若$(i)\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)$存在且等于$A(ii)y$在$b$的某邻域内,有$\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=\phi (y)$,则$$\underset{y\to b}{\lim }\underset{x\to a}{\lim }f(x,y)=A$$

推论1:若累次极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y),\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$和重极限$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$都存在,则三者相等
注意:①该推论给出了累次极限次序可交换的1个充分条件

推论2:若累次极限$$\underset{x\to x_0}{\lim }\underset{y\to y_0}{\lim }f(x,y)与\underset{y\to y_0}{\lim }\underset{x\to x_0}{\lim }f(x,y)$$存在但不相等,则重极限$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)$$必不存在
注意:①该推论可用于否定重极限的存在性

三.二元函数的连续性


1.二元函数的连续性
(1)连续的定义:

(2)全增量与偏增量:


(3)复合函数的连续性:

定理16.7:设函数$u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$在$xy$平面上点$P_0(x_0,y_0)$的某邻域内有定义,并在点$P_0$处连续;函数$f(x,y)$在$uv$平面上点$Q_0(u_0,v_0)$的某邻域内有定义,并在点$Q_0$处连续,其中$u_0=\phi (x_0,y_0),v_0=\psi (x_0,y_0)$;则复合函数$g(x,y)=f(\phi (x,y),\psi (x,y))$在点$P_0$处也连续

还可证明:若二元函数在某点处连续,则与一元函数一样,可以证明其在该点附近具有局部有界性,局部保号性,相应的有理运算的各个法则

2.有界闭域上连续函数的性质
(1)有界性与最大/小值定理:

定理16.8:若函数$f$在有界闭域$D\subset R^2$上连续,则$f$在$D$上有界,且能取得最大值与最小值

(2)一致连续性定理:

定理16.9:若函数$f$在有界闭域$D\subset R^2$上连续,则$f$在$D$上一致连续,即对$\forall \epsilon >0$,总$\exists$只依赖于$\epsilon$的$\delta >0$,使对$\forall$满足$\rho (P,Q)<\delta$的点$P,Q$,有$|f(P)-f(Q)|<\epsilon$

(3)介值性定理:

定理16.10:设函数$f$在区域$D\subset R^2$上连续,若$P_1,P_2$为$D$中$\forall 2$点,且$f(P_1)<f_{(}{P}_2)$,则对任何满足不等式$$f(P_1)<\mu <f(P_2)$$的$\mu \in R$,必$\exists$点$P_0\in D$,使得$f(P_0)=\mu$