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最长公共子序列问题：

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

蛮力法求解最长公共子序列：

需要遍历出所有的可能，时间复杂度是O(n³)，太慢了

动态规划求解最长公共子序列：

分析规律：
设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS

2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS

3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度话，可以得到以下递归公式：

因此，我们动态规划就可以以自底向上的方式进行求解

只需要从c[0][0]开始填表，填到c[m-1][n-1]，所得到的c[m-1][n-1]就是LCS的长度

 int LCSLength(int m,int n,char *x,char *y,int **c,int **b) //c数组用来记录子序列长度，b数组记录具体的子序列，构造序列时                              可以用到！{for(int i=0;i<=m;i++){// //初始化第0行c[i][0]=0;}for(int j=0;j<=n;j++){// //初始化第0列c[0][j]=0;}for(int i=1;i<=m;i++) //填表for(int j=1;j<=n;j++){if(x[j]==y[i]){  c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;  //1:表示X[i]和y[j]的最长公共子序列是由x[i-1]和y[j-1]的最长公共子序列后面加上x[i]所得到的}else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;//2:表示X[i]和y[j]的最长公共子序列与x[i-1]和y[j]的最长公共子序相同else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;//3:表示X[i]和y[j]的最长公共子序列与x[i]和y[j-1]的最长公共子序相同}}}

但是，我们怎么得到LCS本身而非LCS的长度呢？

上面的b数组就派上了用场！b[i][j]记录的是c[i][j]的值是由哪个子问题的解得到的，因此，从b[m][n]反向遍历数组即可得到具体的最长公共子序列！