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简介

   世界的事物原本统一，是因为专业赋予我们看待世界的角度，今天分别从经济学方法（主成分分析）和结构分析方法（振型分解法）来讨论下这个东西。

主成分分析法&振型分解法

    首先小谈下主成分分析法（principal components analysis），也称主分量分析，是利用降维的思想，在损失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。这样在研究复杂问题时就可以只考虑少数几个主成分而不至于损失太多信息，从而更容易抓住主要矛盾，揭示事物内部变量之间的规律性，同时使问题得到简化，提高分析效率。

    再谈下振型分解法，在讨论多自由度体系的强迫振动时，如采用质点位移作为坐标（称为几何坐标），则所得到的振动方程为耦联微分方程，因而必须联立求解。对于无阻尼简谐强迫振动，在平稳阶段，由于各质点都作同步振动，利用这一特性可将微分方程转化为代数方程，故求解没有困难。然而，当考虑阻尼影响或者在一般动力荷载作用下时，求解联立的微分方程组就会比较困难。按振型分解的计算方法就是针对这一问题提出来的。振型分解法是基于坐标变换，把原来耦联的微分方程组变为n个互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为一系列单自由度体系的问题，当然这一方法只限于线性体系的应用。下面介绍振型分解法。

    从上可以看出，两种方法的本质都是通过从结构内部（事物之间）错综复杂的关系中找出一些振型（主要成分），从而得到结构振动的动力特性（或从而能有效利用大量统计数据进行定量分析），揭示结构在不同地震动下各振型的参与成份（变量之间的内在关系），得到对结构（事物）特征及其发展规律的一些深层次的启发，把研究工作引向深入。

    接下来分别浅析下主成分分析法和振型分解法的原理。

【主成分分析法】

    （详见《多元统计分析》）设对某一事物的研究涉及p个指标，分别用X1，X2，…，X。表示，这p个指标构成的p维随机向量为X=(X1，X2，…，Xp)'。设随机向量X的均值为μ。

    对X进行线性变换，可以形成新的综合变量，用Y表示，也就是说，新的综合变量可以由原来的变量线性表示，即满足下式：

    而它的几何意义在于，在处理涉及多个指标问题的时候，为了提高分析的效率，可以不直接对p个指标构成的p维随机向量X=(X1，X2，…，Xp)'进行分析，而是先对向量X进行线性变换，形成少数几个新的综合变量Y1，Y2，…，Yp，使得各综合变量之间相互独立且能解释原始变量尽可能多的信息。这样，在以损失很少部分信息为代价的前提下，达到简化数据结构，提高分析效率的目的。

主成分分析方法的几何意义

    进行主成分分析的目的之一是减少变量的个数，所以一般不会取p个主成分，而是取m<p个主成分。m取多少比较合适，是一个很实际的问题，通常以所取m使得累积贡献率达到85%以上为宜（这就等同振型分解法中的质量参与系数，其中特征值λ等同振型分解法的圆频率w），即：

【振型分解法】

   首先第一步建立动力方程，此处不做太多解释，可看《往期  结构动力学初步——单质点结构的瞬态动力学分析》，也可通过基本的力学原理进行建立动力方程。

    如：通过微分方法——非变分的方法(如牛顿第二定律、达朗贝尔原理、拉格朗日方程)；变分的方法(如虚功原理)。

    或通过积分的方法——非变分的方法(如能量守恒原理、动量变化定理)；变分的方法(如哈密顿原理)。

    将一个n维自由度的结构，动力方程可写成：

矩阵形式即：

给一个不改变结构特性的振动，则可以计算得到：

矩阵形式即：

其中

将上述求解方程带入运动方程中可得到一个齐次方程组：

矩阵形式为：

即可得到：

若要使振型恒不为零，则要满足： 

    通过上式即可求得结构的圆频率和振型。对于特别复杂或则超多自由度的结构，通常会取质量参与系数>90%或95%。

【算例】

计算串模型8层楼，每层质量m=10t，每层刚度 10^8 N/m ，计算前六阶振型和周期。

根据结构振型分解法计算分析可得：

Sap2000结果呈现：

Etbas结果呈现：

自编Matlab结果：

根据主成分分析方法计算分析可得：

我们将需要处理的“大数据”定为[M]×[K]，则有下列数据：

利用Matlab做主成分分析可得：

（各特征值和累计贡献率）

将特征值绘制成图可得到：

利用统计学软件SAS做主成分分析可得：

（注：求特征值方法有很多种，Matlab的princomp命令和SAS内置的计算方法选择有点差别，但结果基本一致）

 （注：蓝色为Matlab的princomp命令，红色为SAS内置计算）

它们分别计算得到的周期为：

总结

    同一种事物在不同身份的人看来是不一样的，数学的人称它为特征向量，土木的人称它为振型，经济学的人称它为主成分，当然还有累计贡献率-振型参与系数…… 

    所以说世界消解统一的宇宙秩序，解构了由这种宇宙秩序所设定的统一的价值世界，价值世界出现了多元分化。世界原本是没有意义的，人们为了摆脱和超越当下世界的短暂性和有限性，通过预设与想象，以各种身份(工程师、经济学家、医生)的角度赋予世界以某种意义， 也就是说世界原本是统一的，但同时也是多元的，对于同一个事物，从不同的角度理解会得到不一样的结论，世界不是非黑即白、非对即错。

概念为先，机理为本，下期再见！

建源之光——工程侠

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