前言
常见的需要求解的角有：异面直线所成的角，线面角，二面角，向量的夹角；
典例剖析
例1【2017凤翔中学高三第三次月考第10题】【异面直线所成的角】
长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=AA_1=2\)，\(AD=1\)，则异面直线\(BC_1\)与\(AC\)所成的角的余弦值是多少？
法1：立体几何法，作证算，思路：将两条异面直线平移至一个三角形中，然后解三角形得到。
将\(BC_1\)平移到\(AD_1\)，联结\(CD_1\)，则\(\angle CAD_1\)为两条异面直线所成的角，
在\(\Delta ACD_1\)中，可知\(AC=\sqrt{5}\)，\(AD_1=\sqrt{5}\)，\(CD_1=2\sqrt{2}\)，
由余弦定理可知\(cos\angle CAD_1=\cfrac{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2-(2\sqrt{2})^2}{2\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\cfrac{1}{5}\)；
法2：空间向量法，
以点\(D\)为坐标原点，分别以\(DA、DC、DD_1\)所在的直线为\(x、y、z\)轴建立如图所示的直角坐标系，
则点\(D(0，0，0)\)，\(A(1，0，0)\)，\(C(0，2，0)\)，\(B(1，2，0)\)，\(D_1(0，0，2)\)，\(A_1(1，0，2)\)，\(B_1(1，2，2)\)，\(C_1(0，2，2)\)，
故\(\overrightarrow{BC_1}=(-1，0，2)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1，2，0)\)，
设两条异面直线所成的角为\(\theta\)，则\(cos\theta=|cos<\overrightarrow{BC_1}，\overrightarrow{AC}>|=\cfrac{(-1)\times(-1)+0\times2+2\times 0}{\sqrt{(-1)^2+0^2+2^2}\times\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}}=\cfrac{1}{5}\)。
备注：两条异面直线所成角的范围\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)，两个向量所成角的范围\([0，\pi]\)。
例2【2017凤翔中学第三次月考理科第19题】【二面角】
如图所示，四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是个边长为2的正方形，侧棱\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，且\(PA=2\)，\(Q\)是\(PA\)的中点.
（1）证明：\(BD\perp\)平面\(PAC\) ；
暂略
（2）求二面角\(C-BD-Q\)的余弦值。
分析：由题可知，\(AB、AP、AD\)两两垂直，以\(A\)为坐标原点，分别以\(AB、AD、AP\)所在直线为\(x，y，z\)轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则点\(B(2，0，0)\)，\(C(2，2，0)\)，\(D(0，2，0)\)，\(Q(0，0，1)\)，
所以\(\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)\)，\(\overrightarrow{BQ}=(-2，0，1)\)，
设平面\(BDQ\)的法向量为\(\vec{m}=(x，y，z)\)，则有
\(\begin{cases}\vec{m}\perp\overrightarrow{BD}\\\vec{m}\perp\overrightarrow{BQ}\end{cases}\) \(\Longrightarrow \begin{cases}\vec{m}\cdot\overrightarrow{BD}=0\\\vec{m}\cdot\overrightarrow{BQ}=0\end{cases}\)
即\(\begin{cases}-2x+2y=0\\-2x+z=0\end{cases}\)，可以取\(\vec{m}=(1，1，2)\)
平面\(BDC\)的法向量为\(\vec{n}=(0，0，1)\)，
设二面角\(C-BD-Q\)为\(\theta\)，由图可知，\(\theta\)为钝角，则有
\(cos\theta=-|cos<\vec{m}，\vec{n}>|=-\cfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=-\cfrac{2}{\sqrt{6}}=-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)
所以二面角\(C-BD-Q\)的余弦值为\(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)。
备注：二面角的范围\([0，\pi]\)。
例3【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，已知直线\(BD\)与平面\(ADD_1A_1\)所成角的正切值为\(2\)，直线\(BD_1\)与平面\(ABCD\)所成角的正弦值为\(\cfrac{2}{3}\)，则异面直线\(CD_1\)与\(BD_1\)所成角的余弦值为【】
分析：如图所示，直线\(BD\)与平面\(ADD_1A_1\)所成角的为\(\angle BDA\)，则由\(tan\angle BDA=2\)，可以设\(AB=2k\)，\(AD=k\)，则\(BD=\sqrt{5}k\)，直线\(BD_1\)与平面\(ABCD\)所成角的为\(\angle D_1BD\)，则由\(sin\angle D_1BD=\cfrac{2}{3}\)，可以设\(DD_1=2m\)，\(BD_1=3m\)，则\(BD=\sqrt{5}m\)，
故可以令\(m=k=1\)，则长方体的三维\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(DD_1=2\)，接下来的思路可以有两个：
思路1：平移法，将异面直线\(CD_1\)与\(BD_1\)通过平移放置到同一个三角形\(\triangle AVD_1\)中，这样\(AC=\sqrt{5}\)，\(AD_1=\sqrt{5}\)，\(CD_1=2\sqrt{2}\)，则异面直线\(CD_1\)与\(BD_1\)所成的角即为\(\angle AD_1C\)，由余弦定理可知\(cos \angle AD_1C=\cfrac{\sqrt{10}}{5}\).
思路2：空间向量法，不作平移，直接利用直线的方向向量的夹角来求解；