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2.5.2　扩展案例：预测离散值时间序列

假设我们观察到取值为0或1的数据，每个时刻一个值。为了了解具体应用，假设这是每天的天气数据：1代表有雨，0代表没有雨。假设已经知道最近几天是否下雨，我们希望预测明天是否会下雨。具体而言，对于某个k值，我们会根据最近k天的天气记录来预测明天的天气。我们将使用“过半数规则”(majority rule:)：如果在最近k期里1的数量大于等于k/2，那么预测下一个值为1，否则，预测下一个值为0。例如如果k=3，最近三期的数据为1、0、1，则预测下一期值为1。

但是，我们应该如何选择k？显然，如果选择的值太小，则给我们用以预测的样本量太小。如果取值过大，导致我们使用过于早期的数据，而这些数据只有很少或根本没有预测价值。

一个解决方案是针对已知的数据(称为训练集)，变换不同的k值，看看预测效果如何。

在天气的例子中，假设我们有500天的数据，假设我们考虑使用k=3。为了评价k值的预测能力，我们基于前三天的数据来“预测”每天的数据，然后将预测值与已知值进行对比。以此类推，对于k=1、k=2、k=4，我们做同样的事情，直到k值足够大。然后，我们使用训练数据中表现***的k值，用于未来的预测。

那么我们如何编写R代码？这里有一个简单的方法：

这段代码的核心在第7行。此处要预测第i+k天的值(预测结果保存在pred[i])，利用的是之前k天的值，也即第i天，……，第i+k-1天的值。因此，我们需要算出这些天中1的个数。由于我们处理的是0-1数据，1的数量可以简单地使用这些天x[j]的总和，它可以很方便地用以下方法获取：

使用sum()函数和向量索引使得计算更简捷，避免了循环，因此它更简单更快速。这是Ｒ语言典型的用法。

第９行的表达式也是同样的道理：

在这里，pred包含预测值，而x[(k+1):n]是这些天的实际值。前者减去后者，得到的值要么为0，要么为1，或-1。在这里，1或-1对应两个方向的预测误差，即当真实值为1时预测值为0，或者真实值为0时预测为1。再用abs()函数求出绝对值，得到0和1的序列，后者表示预测有误差。

这样，我们就能知道哪些天的预测有误差，然后使用mean()来计算错误率，在这里我们应用了这一数学原理：即0-1数据的均值是1的比例。这是R语言的一个常见技巧。

上述preda()的编码是相当直截了当的，它的优点是简单和紧凑。然而，它可能很慢。我们可以尝试用向量化循环来加快速度，正如2.6节所讨论的那样。然而在这里它不能解决加速的主要障碍，即这些代码中所有的重复计算都不能避免。在循环中对于i的相邻两个取值，调用sum()函数求和的向量只相差两个元素。这会减慢速度，除非k值非常小。

所以，我们重写代码，计算过程中利用上一步计算的结果。在循环的每一次迭代中，将更新前一次得到的总和，而不是从头开始计算新的总和。

关键在第9行。在这里从总和sm里减去最早的元素x[i-1]，再加上新的元素(x[i+k-1])，从而更新sm。

另一种方法是使用R函数cumsum()，它能计算向量的累积和(cumulative sums)。这里是一个例子：

在这里，y的累加和是5=5，5+2=7，5 + 2 + (－3) = 4，5 + 2 + (－3) + 8 = 12，这些值由cumsum()返回。

在上面的例子里，建议用cumsum()的差值替代preda()中的表达式sum(x[i:(i+(k-1))。

在求x中连续k个元素(称为窗口)之和的时候，没有像下面这样使用sum()函数：

而是计算窗口的结束和开头处的累积和之差，像这样：

注意，我们在向量的累积和前面添加了0：

这是为了保证在i=1时能计算出正确的值。

predb()函数里每次循环迭代要做两次减法运算，对predc()来说只需要做一次。

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