10.反函数和反三角函数

10.1 导数和反函数

10.1.1 使用导数证明反函数存在

如果满足水平线检验，则一个函数是否存在反函数
（一个 $y$ 对应一个 $x$）

此方法的大体思想是：在一定区间内，如果函数单增或单减，函数图像必然与每条水平线只相交一次（即符合水平线检验），由此得出：存在该函数的反函数

10.1.2 用导数检验函数是否反函数：可能会出现问题

下面的分段函数满足 $f^{\prime }(x)\ge 0$ ，符合水平线检验，不存在其反函数

问题：
导数为0的原函数表现为平行于 $x$ 轴，此部分与水平线相交点多于一次，显然不符合水平线检验（即此原函数不存在其反函数），但有些不符合水平线检验的函数，也存在其对应的反函数

下图为 $y=tan(x)$ 不符合水平线检验（意味着不存在其反函数）

但 $y=tan(x)$ 的反函数存在，其为 $y=arctan(x)$

综上：当函数有不连续点或垂直渐近线时，用导数判断函数是否存在反函数的方法不再适用

问题的根源其实在于正切函数定义域不在一起，而上面提到的判断方法其定义域是在一起的。

问题的解决：

导数证明反函数存在的方法的使用条件：应该限制定义域

10.1.3 求反函数的导数

$f^{-1}(x)\ne (f(x){)}^{-1}$ ，前者代表反函数，而后者代表函数的倒数

$f^2(x)=(f(x){)}^2$ ，两者都代表函数的平方

如果原函数处处可导，其反函数不一定处处存在

求反函数的导数的例子
例1：

例2：

例3：

10.2 反三角函数

反三角函数中的 ar 代表 arc（弧）【详见本人另一博客中 2.2 描述的三角函数的定义】
反双曲函数中的 ar 代表 area（面积）【详见本人另一博客中 9.7.0 描述的对双曲函数的定义】

10.2.1 反正弦函数【 y=arcsin(x) 】

$$y=sin(x)$$

水平线与函数图像相交多次，不满足水平线检验，接下来通过限制定义域来使其满足水平线检验

将上图中的实线做关于 $y=x$ 的图像，得到该定义域内的反函数，即 $si{n}^{-1}(x)=arcsin(x)$

满足水平线检验的 $sin(x)$ 的定义域 $[-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2}]$，值域 $[-1,1]$
其反函数 $arcsin(x)$ 的定义域 $[-1,1]$，值域 $[-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2}]$

反正弦函数的图像

$$y=si{n}^{-1}(x)=arcsin(x)$$

反正弦函数的导数推导

例1：

例2：

10.2.2 反余弦函数【 y=arccos(x) 】

$$y=cos(x)$$

水平线与函数图像相交多次，不满足水平线检验，接下来通过限制定义域来使其满足水平线检验

将上图中的实线做关于 $y=x$ 的图像，得到该定义域内的反函数，即 $co{s}^{-1}(x)=arccos(x)$

反余弦函数的图像

$$y=co{s}^{-1}(x)=arccos(x)$$

反余弦函数的导数推导

证明：
$$arcsin(x)+arccos(x)=\frac{\pi }{2}$$

10.2.3 反正切函数【 y=arctan(x) 】

$$y=tan(x)$$

水平线与函数图像相交多次，不满足水平线检验，接下来通过限制定义域来使其满足水平线检验

将上图中的实线做关于 $y=x$ 的图像，得到该定义域内的反函数，即 $ta{n}^{-1}(x)=arctan(x)$

反正切函数的图像

$$y=ta{n}^{-1}(x)=arctan(x)$$

反正切函数的导数推导

10.2.4 反余切函数【 y=arccot(x) 】

$$y=cot(x)$$

水平线与函数图像相交多次，不满足水平线检验，接下来通过限制定义域来使其满足水平线检验
.

将上图中的实线做关于 $y=x$ 的图像，得到该定义域内的反函数，即 $co{t}^{-1}(x)=arccot(x)$

反余切函数图像

$$y=co{t}^{-1}(x)=arccot(x)$$

反余切函数的导数推导

10.2.5 反正割函数【 y=arcsec(x) 】

$$y=sec(x)$$

水平线与函数图像相交多次，不满足水平线检验，接下来通过限制定义域来使其满足水平线检验

将上图中的实线做关于 $y=x$ 的图像，得到该定义域内的反函数，即 $se{c}^{-1}(x)=arcsec(x)$

反正割函数图像

$$y=se{c}^{-1}(x)=arcsec(x)$$

反正割函数的导数推导

10.2.6 反余割函数【 y=arccsc(x) 】

$$y=csc(x)$$

水平线与函数图像相交多次，不满足水平线检验，接下来通过限制定义域来使其满足水平线检验

将上图中的实线做关于 $y=x$ 的图像，得到该定义域内的反函数，即 $cs{c}^{-1}(x)=arccsc(x)$

反余割函数图像

$$y=cs{c}^{-1}(x)=arccsc(x)$$

反余割函数的导数推导

10.2.7 计算反三角函数

例子：