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前言

该技术博客是关于黑马数据结构与算法课程的学习笔记，希望能为大家带来帮助！

一、简单排序

在我们的程序中，排序是非常常见的一种需求，提供一些数据元素，把这些数据元素按照一定的规则进行排序。比如查询一些订单，按照订单的日期进行排序；再比如查询一些商品，按照商品的价格进行排序等等。所以，接下来我们要学习一些常见的排序算法。

在java的开发工具包jdk中，已经给我们提供了很多数据结构与算法的实现，比如List，Set，Map，Math等等，都是以API的方式提供，这种方式的好处在于一次编写，多处使用。我们借鉴jdk的方式，也把算法封装到某个类中，那如果是这样，在我们写java代码之前，就需要先进行API的设计，设计好之后，再对这些API进行实现。

例如：

类名	ArrayList
构造方法	ArrayList()：创建ArrayList对象
成员方法	1.boolean add(E e)：向集合中添加元素 2.E remove(int index):从集合中删除指定的元素

1.1 冒泡排序

冒泡排序（Bubble Sort），是一种计算机科学领域的较简单的排序算法。

需求：
排序前：{4,5,6,3,2,1}
排序后：{1,2,3,4,5,6}

排序原理：

1. 比较相邻的元素。如果前一个元素比后一个元素大，就交换这两个元素的位置。
2. 对每一对相邻元素做同样的工作，从开始第一对元素到结尾的最后一对元素。最终最后位置的元素就是最大值。

冒泡排序的代码实现：

public class Bubble {//对数组a中的元素进行排序public static void sort(Comparable[] a) {for (int i = a.length - 1; i > 0; i--) {for (int j = 0; j < i; j++) {//比较索引j和索引j+1的值if (greater(a[j], a[j + 1])) {exch(a, j, j + 1);}}}}//比较v元素是否大于w元素private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) > 0;}//数组元素i和j交换位置private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp;temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}

冒泡排序的时间复杂度分析：

冒泡排序使用了双层for循环，其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码，所以，我们分析冒泡排序的时间复杂度，主要分析一下内层循环体的执行次数即可。

在最坏情况下，也就是假如要排序的元素为{6,5,4,3,2,1}逆序，那么：
元素比较的次数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)(N-1)/2=N^2/2-N/2
元素交换的次数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)(N-1)/2=N^2/2-N/2
总执行次数为：N^2-N
按照大O推导法则，保留函数中的最高阶项那么最终冒泡排序的时间复杂度为O(N^2)

1.2 选择排序

选择排序是一种更加简单直观的排序方法。

需求：

排序前：{4,6,8,7,9,2,10,1}
排序后：{1,2,4,5,7,8,9,10}

排序原理：

1. 每一次遍历的过程中，都假定第一个索引处的元素是最小值，和其他索引处的值依次进行比较，如果当前索引处的值大于其他某个索引处的值，则假定其他某个索引出的值为最小值，最后可以找到最小值所在的索引
2. 交换第一个索引处和最小值所在的索引处的值

选择排序的代码实现：

public class Selection {//对数组a中的元素进行排序public static void sort(Comparable[] a) {for (int i = 0; i <= a.length - 2; i++) {//定义一个变量，记录最小元素所在的索引，默认为参与选择排序的第一个元素所在的位置int minIndex = i;for (int j = i + 1; j < a.length; j++) {//需要比较最小索引minIndex处的值和j索引处的值if (greater(a[minIndex], a[j])) {minIndex = j;}}//交换最小元素所在索引minIndex处的值和索引i处的值exch(a, i, minIndex);}}//比较v元素是否大于w元素private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) > 0;}//数组元素i和j交换位置private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp;temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}

选择排序的时间复杂度分析：

选择排序使用了双层for循环，其中外层循环完成了数据交换，内层循环完成了数据比较，所以我们分别统计数据交换次数和数据比较次数：

数据比较次数：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
数据交换次数：N-1
时间复杂度：N^2/2+N/2-1
根据大O推导法则，保留最高阶项，去除常数因子，时间复杂度为O(N^2)

1.3 插入排序

插入排序（Insertion sort）是一种简单直观且稳定的排序算法。

插入排序的工作方式非常像人们排序一手扑克牌一样。开始时，我们的左手为空并且桌子上的牌面朝下。然后，我们每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌的正确位置，我们从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较，如下图所示：

需求：

排序前：{4,3,2,10,12,1,5,6}
排序后：{1,2,3,4,5,6,10,12}

排序原理：

1. 把所有的元素分为两组，已经排序的和未排序的；
2. 找到未排序的组中的第一个元素，向已经排序的组中进行插入；
3. 倒叙遍历已经排序的元素，依次和待插入的元素进行比较，直到找到一个元素小于等于待插入元素，那么就把待插入元素放到这个位置，其他的元素向后移动一位；

插入排序代码实现：

public class Insertion {//对数组a中的元素进行排序public static void sort(Comparable[] a) {for (int i = 1; i < a.length; i++) {for (int j = i; j > 0; j--) {//比较索引j处的值和索引j-1处的值，如果索引j-1处的值比索引j处的值大，则交换数据//如果不大，那么就找到合适的位置，推出循环即可if (greater(a[j - 1], a[j])) {exch(a, j - 1, j);} else {break;}}}}//比较v元素是否大于w元素private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) > 0;}//数组元素i和j交换位置private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp;temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}

插入排序的时间复杂度分析：

插入排序使用了双层for循环，其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码，所以，我们分析插入排序的时间复杂度，主要分析一下内层循环体的执行次数即可。

最坏情况，也就是待排序的数组元素为{12,10,6,5,4,3,2,1}，那么：

比较的次数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)(N-1)/2=N^2/2-N/2
交换的次数为：(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)(N-1)/2=N^2/2-N/2
总执行次数为：N^2-N;
按照大O推导法则，保留函数中的最高阶项那么最终插入排序的时间复杂度为O(N^2)

二、高级排序

之前我们学习过基础排序，包括冒泡排序，选择排序还有插入排序，并且对他们在最坏情况下的时间复杂度做了分析，发现都是O(N^2)，而平方阶通过我们之前学习算法分析我们知道，随着输入规模的增大，时间成本将急剧上升，所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题，接下来我们学习一些高级的排序算法，争取降低算法的时间复杂度最高阶次幂。

2.1 希尔排序

希尔排序是插入排序的一种，又称“缩小增量排序”，是插入排序算法的一种更高效的改进版本。
前面学习插入排序的时候，我们会发现一个很不友好的事儿，如果已排序的分组元素为{2,5,7,9,10}，未排序的分组元素为{1,8}，那么下一个待插入元素为1，我们需要拿着1从后往前，依次和10,9,7,5,2进行交换位置，才能完成真正的插入，每次交换只能和相邻的元素交换位置。那如果我们要提高效率，直观的想法就是一次交换，能把1放到更前面的位置，比如一次交换就能把1插到2和5之间，这样一次交换1就向前走了5个位置，可以减少交换的次数，这样的需求如何实现呢？接下来我们来看看希尔排序的原理。

需求：
排序前：{9,1,2,5,7,4,8,6,3,5}
排序后：{1,2,3,4,5,5,6,7,8,9}

排序原理：

1. 选定一个增长量h，按照增长量h作为数据分组的依据，对数据进行分组；
2. 对分好组的每一组数据完成插入排序；
3. 减小增长量，最小减为1，重复第二步操作。

增长量h的确定：增长量h的值每一固定的规则，我们这里采用以下规则：

int h=1
while(h<5){h=2h+1；//3,7
}
//循环结束后我们就可以确定h的最大值h的减小规则为：
h=h/2

希尔排序代码实现：

/*** 希尔排序*/
public class Shell {/*** 对数组a进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {//1.根据数组a长度，确定增长量h初始值int h = 1;while (h < a.length) {h = 2 * h + 1;}//2.希尔排序while (h >= 1) {//排序//2.1 找到待插入元素for (int i = h; i < a.length; i++) {//2.2 把待插入元素插入到有序数列中for (int j = i; j >= h; j -= h) {//待插入元素a[j]，比较a[j]和a[j-h]if (greater(a[j - h], a[j])) {//交换元素exch(a, j - h, j);} else {//待插入元素已找到合适位置，结束循环break;}}}//减小hh = h / 2;}}/*** 比较v元素是否大于w元素*/public static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) > 0;}/*** 数组元素i和j交换位置*/public static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp;temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}
}

2.2 归并排序

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

需求：
排序前：{8,4,5,7,1,3,6,2}
排序后：{1,2,3,4,5,6,7,8}

排序原理：

1. 尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是1为止
2. 将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组
3. 不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止

归并原理：

代码展示：

/*** 归并排序*/
public class Merge {//归并所需要的辅助数组private static Comparable[] assist;/*** 比较v元素是否小于w元素*/private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) < 0;}/*** 对数组a中元素进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {//1.初始化辅助数组assistassist = new Comparable[a.length];//2.定义lo变量和hi变量，分别记录数组中最小的索引和最大的索引int lo = 0;int hi = a.length - 1;//3.调用sort重载方法完成数组a排序，从索引lo到索引hisort(a, lo, hi);}/*** 对数组a中，从lo到hi的元素进行排序*/private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {//安全性校验if (hi <= lo) {return;}//对lo到hi之间的数据进行分两个组int mid = lo + (hi - lo) / 2;//分别对每一组数据进行排序sort(a, lo, mid);sort(a, mid + 1, hi);//再把两个组中的数据进行归并merge(a, lo, mid, hi);}/*** 从lo到mid为一组，从mid+1到hi为一组，对这两个数组进行归并*/private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {//定义三个指针int i = lo;int p1 = lo;int p2 = mid + 1;//遍历，移动p1,p2指针，比较对应索引处值，找到小的那个放到辅助数组对应索引处while (p1 <= mid && p2 <= hi) {//比较对应索引处的值if (less(a[p1], a[p2])) {assist[i++] = a[p1++];} else {assist[i++] = a[p2++];}}//遍历，如果p1指针没有走完，那么顺序移动p1指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处while (p1 <= mid) {assist[i++] = a[p1++];}//遍历，如果p2指针没有走完，那么顺序移动p2指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处while (p2 <= hi) {assist[i++] = a[p2++];}//把辅助数组中的元素，拷贝到原数组for (int index = lo; index <= hi; index++) {a[index] = assist[index];}}
}

归并排序时间复杂分析：

归并排序的缺点：
需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。

2.3 快速排序

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是：通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

需求：
排序前:{6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8}
排序后:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

排序原理：

1. 首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分；
2. 将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值；
3. 然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
4. 重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了。

切分原理：
把一个数组切分成两个子数组的基本思想：

1. 找一个基准值，用两个指针分别指向数组的头部和尾部；
2. 先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
3. 再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置；
4. 交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素；
5. 重复2,3,4步骤，直到左边指针的值大于右边指针的值停止。

代码实现：

/*** 快速排序*/
public class Quick {//归并所需要的辅助数组private static Comparable[] assist;/*** 比较v元素是否小于w元素*/private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {return v.compareTo(w) < 0;}/*** 数组元素i和j交换位置*/public static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {Comparable temp;temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;}/*** 对数组a中元素进行排序*/public static void sort(Comparable[] a) {int lo = 0;int hi = a.length - 1;sort(a, lo, hi);}/*** 对数组a中，从lo到hi的元素进行排序*/private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {//安全性校验if (hi <= lo) {return;}//需要对数组中lo索引到hi索引出的元素进行分组（左子组，右子组）int partition = partition(a, lo, hi);//分组分界值索引.分界值位置变换后索引//让左子组有序sort(a, lo, partition - 1);//让右子组有序sort(a, partition + 1, hi);}/*** 对数组a中，从索引lo到hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引*/private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {//确定分界值Comparable key = a[lo];//定义两个指针分别指向待切分元素的最小索引处和最大索引处的下一个位置int left = lo;int right = hi + 1;//切分while (true) {//先从右往左扫描，移动right指针，找到一个比分界值小的元素，停止while (less(key, a[--right])) {if (right == lo) {break;}}//先从左往右扫描，移动left指针，找到一个比分界值大的元素，停止while (less(a[++left], key)) {if (left == hi) {break;}}//判断left是否>=right，如果是，证明扫描完毕，如果不是，交换元素if (left >= right) {break;} else {exch(a, left, right);}}//交换分界值exch(a, lo, right);return right;}
}

快速排序和归并排序的区别：
快速排序是另外一种分治的排序算法，它将一个数组分成两个子数组，将两部分独立的排序。快速排序和归并排序是互补的：归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并从而将整个数组排序，而快速排序的方式则是当两个数组都有序时，整个数组自然就有序了。

在归并排序中，一个数组被等分为两半，归并调用发生在处理整个数组之前，在快速排序中，切分数组的位置取决于数组的内容，递归调用发生在处理整个数组之后。

快速排序时间复杂度分析：
快速排序的一次切分从两头开始交替搜索，直到left和right重合，因此，一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。

最优情况：每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。

如果我们把数组的切分看做是一个树，那么上图就是它的最优情况的图示，共切分了logn次，所以，最优情况下快速排序的时间复杂度为O(nlogn);

最坏情况：每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数，这使得每次切分都会有一个子组，那么总共就得切分n次，所以，最坏情况下，快速排序的时间复杂度为O(n^2);

平均情况：每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值，也不是中值，这种情况我们也可以用数学归纳法证明，快速排序的时间复杂度为O(nlogn),由于数学归纳法有很多数学相关的知识，容易使我们混乱，所以这里就不对平均情况的时间复杂度做证明了。