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news 2025/7/16 14:30:32

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一般在机器学习模型中会涉及到衡量两个样本间的距离，如聚类、KNN，K-means等，使用的距离为欧式距离。其实，除了欧氏距离之外，还有很多的距离计算标准，本文主要介绍欧氏距离和马氏距离。

欧氏距离

最常见的两点之间或多点之间的距离表示法，又称之为欧几里得度量，它定义于欧几里得空间中，如点 x = ( x 1 , … , x n ) x = (x_1,…,x_n)x=(x1,…,xn) 和 y = ( y 1 , … , y n ) y = (y_1,…,y_n)y=(y1,…,yn) 之间的距离为：
d ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + . . . + ( x n − y n ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 d(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+...+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}d(x,y)=(x1−y1)2+(x2−y2)2+...+(xn−yn)2=i=1∑n(xi−yi)2

二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：
d 12 = ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 d_{12} = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}d12=(x1−x2)2+(y1−y2)2
两个n维向量a ( x 11 , x 12 , … , x 1 n ) a(x_{11},x_{12},…,x_{1n})a(x11,x12,…,x1n)与 b ( x 21 , x 22 , … , x 2 n ) b(x_{21},x_{22},…,x_{2n})b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：
d 12 = ∑ k = 1 n ( x 1 k − x 2 k ) 2 d_{12} = \sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{1k}-x_{2k})^2}d12=k=1∑n(x1k−x2k)2

马氏距离

在介绍马氏距离之前，我们先来看如下几个概念：

方差：方差是标准差的平方，而标准差的意义是数据集中各个点到均值点距离的平均值。反应的是数据的离散程度。
协方差： 标准差与方差是描述一维数据的，当存在多维数据时，我们通常需要知道每个维数的变量中间是否存在关联。协方差就是衡量多维数据集中，变量之间相关性的统计量。比如说，一个人的身高与他的体重的关系，这就需要用协方差来衡量。如果两个变量之间的协方差为正值，则这两个变量之间存在正相关，若为负值，则为负相关。
协方差矩阵： 当变量多了，超过两个变量了。那么，就用协方差矩阵来衡量这么多变量之间的相关性。假设 X XX 是以 n nn个随机变数（其中的每个随机变数是也是一个向量，当然是一个行向量）组成的列向量：
X = [ X 1 X 2 ⋮ X n ] X =

⎡⎣⎢⎢⎢⎢X1X2⋮Xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥[X1X2⋮Xn]
X=⎣⎢⎢⎢⎡X1X2⋮Xn⎦⎥⎥⎥⎤
其中，μ i μ_iμi是第i个元素的期望值，即μ i = E ( X i ) μ_i=E(X_i)μi=E(Xi)。协方差矩阵的第i , j i,ji,j项（第i , j i,ji,j项是一个协方差）被定义为如下形式：
∑ i j = c o v ( X i , X j = E [ ( X i − μ i ) ( X j − μ j ) ] ) \sum_{ij} = cov(X_i,X_j = E[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)])ij∑=cov(Xi,Xj=E[(Xi−μi)(Xj−μj)])
即：
∑ = [ E [ ( X 1 − μ 1 ) ( X 1 − μ 1 ) ] ) E [ ( X 1 − μ 1 ) ( X 2 − μ 2 ) ] ) ⋯ E [ ( X 1 − μ 1 ) ( X n − μ n ) ] ) E [ ( X 2 − μ 2 ) ( X 1 − μ 1 ) ] ) E [ ( X 2 − μ 2 ) ( X 2 − μ 2 ) ] ) ⋯ E [ ( X 2 − μ 2 ) ( X n − μ n ) ] ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ E [ ( X n − μ n ) ( X 1 − μ 1 ) ] ) E [ ( X n − μ n ) ( X 2 − μ 2 ) ] ) ⋯ E [ ( X n − μ n ) ( X n − μ n ) ] ) ] \sum =
⎡⎣⎢⎢⎢⎢E[(X1−μ1)(X1−μ1)])E[(X2−μ2)(X1−μ1)])⋮E[(Xn−μn)(X1−μ1)])E[(X1−μ1)(X2−μ2)])E[(X2−μ2)(X2−μ2)])⋮E[(Xn−μn)(X2−μ2)])⋯⋯⋱⋯E[(X1−μ1)(Xn−μn)])E[(X2−μ2)(Xn−μn)])⋮E[(Xn−μn)(Xn−μn)])⎤⎦⎥⎥⎥⎥[E[(X1−μ1)(X1−μ1)])E[(X1−μ1)(X2−μ2)])⋯E[(X1−μ1)(Xn−μn)])E[(X2−μ2)(X1−μ1)])E[(X2−μ2)(X2−μ2)])⋯E[(X2−μ2)(Xn−μn)])⋮⋮⋱⋮E[(Xn−μn)(X1−μ1)])E[(Xn−μn)(X2−μ2)])⋯E[(Xn−μn)(Xn−μn)])]
∑=⎣⎢⎢⎢⎡E[(X1−μ1)(X1−μ1)])E[(X2−μ2)(X1−μ1)])⋮E[(Xn−μn)(X1−μ1)])E[(X1−μ1)(X2−μ2)])E[(X2−μ2)(X2−μ2)])⋮E[(Xn−μn)(X2−μ2)])⋯⋯⋱⋯E[(X1−μ1)(Xn−μn)])E[(X2−μ2)(Xn−μn)])⋮E[(Xn−μn)(Xn−μn)])⎦⎥⎥⎥⎤
矩阵中的第 ( i , j ) (i,j)(i,j) 个元素是 X i X_iXi 与 X j X_jXj 的协方差。

马氏距离的定义：
马氏距离（Mahalanobis Distance）是由马哈拉诺比斯（P. C. Mahalanobis）提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的（scale-invariant），即独立于测量尺度。
对于一个均值为μ = ( μ 1 , μ 2 , μ 3 , . . . , μ p ) T μ=(μ_1,μ_2,μ_3,...,μ_p)^Tμ=(μ1,μ2,μ3,...,μp)T，协方差矩阵为S SS的多变量x = ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x p ) T x=(x_1,x_2,x_3,...,x_p)^Tx=(x1,x2,x3,...,xp)T，其马氏距离为：
D M ( x ) = ( x − μ ) T S − 1 ( x − μ ) D_M(x) = \sqrt{(x-\mu)^T {S}^{-1}(x-\mu)}DM(x)=(x−μ)TS−1(x−μ)
我们可以发现如果S − 1 S^{-1}S−1是单位阵的时候，马氏距离简化为欧氏距离。

那我们为什么要用马氏距离呢？
马氏距离有很多优点： 马氏距离不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关；由标准化数据和中心化数据(即原始数据与均值之差）计算出的二点之间的马氏距离相同。马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。

下面我们来看一个例子：
如果我们以厘米为单位来测量人的身高，以克（g）为单位测量人的体重。每个人被表示为一个两维向量，如一个人身高173cm，体重50000g，表示为（173,50000），根据身高体重的信息来判断体型的相似程度。

我们已知小明（160,60000）；小王（160,59000）；小李（170，60000）。根据常识可以知道小明和小王体型相似。但是如果根据欧几里得距离来判断，小明和小王的距离要远远大于小明和小李之间的距离，即小明和小李体型相似。这是因为不同特征的度量标准之间存在差异而导致判断出错。

以克（g）为单位测量人的体重，数据分布比较分散，即方差大，而以厘米为单位来测量人的身高，数据分布就相对集中，方差小。马氏距离的目的就是把方差归一化，使得特征之间的关系更加符合实际情况。

下图（a）展示了三个数据集的初始分布，看起来竖直方向上的那两个集合比较接近。在我们根据数据的协方差归一化空间之后，如图（b），实际上水平方向上的两个集合比较接近。