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第 26 卷 第 5 期 2 0 1 2 年 9 月 长 沙 大 学 学 报 JOURNAL OF CHANGSHA UNIVERSITY Vol．26 No．5 Sep． 2 0 1 2 BFGS 和 DFP 法的最优化问题求解及在 MATLAB 中的实现* 吴顺秋 ( 湖南城市学院数学与计算科学学院，湖南 益阳 413000) 摘 要:对拟 Newton 方法中的 DFP 算法和 BFGS 算法进行了探讨，借助 matlab 软件中 fminsearch 和 fminunc 函数，利用BFGS 方法和 DFP 方法对非线性无约束优化问题进行了仿真研究，结果表明利用 matlab 软件解答非线性无约束优化问题获得了好的效果，为数学工作者求解非线性无约束优化问题提供了一种新的方法．关键词:matlab 软件; 数学建模; BFGS 算法; DFP 算法; 最优解 中图分类号:TB112 文献标识码:A 文章编号:1008 －4681(2012)05 －0001 －03 在当今科学研究、工程设计和经济管理等许多领域中，常常会遇到如何在一切可能的方案中选择最优、最好方案的这类问题，数学上把它称之为最优化问题． 如何得到最优方案，自然也就成了科技人员在解决实际问题中特别关心的问题． 而在大多数人的头脑中，特别是现在的高科技人才中，很多人只注意新方法新问题的发明、发现，其实如何对已有的方法的优化同样是一个很重要、很艰巨的问题［1，2］．在数学上，优化问题就是求解如下形式的最优解: Minimize f( x) Subject to［C． E．］ ［B． C．］ 其中 f( x) 称为目标函数，Subject to 引导的部分称为约束条件，［C． E．］即条件方程，［B． C．］即边界条件，用来约束自变量的求解域，以 vlb≤x≤vub 的形式给出． 在优化问题中，根据目标函数、约束函数和变量的不同，可以将其大致分为线性优化、非线性优化、二次优化、多任务目标优化等，本文主要讨论非线性优化问题，这里仅就 DFP 算法和 BFGS 算法进行一些探讨． 1 DFP 算法和 BFGS 算法 1． 1 DFP 算法 无约束优化问题的基本形式为［3］; Minimize f( x) x ∈ Rn ( 1) 其中 f( x) : Rn → R 称为目标函数． 理论分析和大量数值试验表明，在求解( 1) 的各种算法中，拟 Newton 算法是效果最好的一类方法． DFP( Davidon －Fletcher － Powell) 算法是最早提出的拟 Newton 算法，它首先由 Davidon 给出，并由 Fletcher 和 Powell 修改而成［4］． DFP 算法的一般计算步骤如下: dk = － ( Bk) －1gk xk+1 = xk + akdk Bk+1 = Bk － BkskyT k + yksT k Bk sT k yk + 1 + sT k Bksk sT k y( ) k · yk 2 2 sT k yk 其中 sk = akdk; yk = gk+1 － gk，ak 为步长因子，它由具体的线 搜索准则确定． Goldstein － Armijor 线搜索下的 DFP 算法步骤 1: 取 x1 ∈ Rn，B1 ∈ Rn* n 且对称正定，k = 1; 步骤 2: 计算 gk = f( xk) ，如果 gk = 0，则终止，最优解为 xk; 如果 gk ≠ 0，令 dk = － ( Bk) －1gk，继续下一步; 步骤 3: 选取 ak 满足以下两式