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强极值原理、第二边值问题解的唯一性强极值原理、第二边值问题解的唯一性

1. 强极值原理 §4 强极值原理、第二边值问题解的唯一性 *物理意义：对于边界上的温度最低点(也可考虑最高点情况)，物体其它各点的热量必流向它，并且通过它流向物体外部，因此在该点有 。 *定理4.1(强极值原理)设在半径为 某一闭球给定一个连续函数 ，它在此球内是调和的，并且对此球的所有内点 ，成立着 其中 是球面上的某定点。如果函数 在点 沿方向 的方向导数存在，而方向 与球的内法线方向成锐角，则在 点成立 福州大学数学与计算机科学学院－江飞:jiangfei0591@163.com 证 不妨假设球心在坐标原点(利用平移变换即可)。 由于在点 取最小值，因此在该点上总有 下面我们只要证明等号不能成立。 令 满足 (1) (2) 其中 on 的附近邻域， 则 为简单起见，构造如下的径向函数： 令 在 点函数 取极小值 满足 且 (1) (2) on 外的附近邻域； 0 2D示意图 (2) (1) 从而 (3) 在 点函数 取极小值 且 (1) (2) (3) on 外的附近邻域， 由上述关系式可看出，我们只要验证：存在 使得 其中 即相当于验证 由于 因此 不能在 内取到极小值。 (1) (2) (3) 不能在 内取到极小值。 另一方面注意到 故 对于充分小的 显然 从而 综上即知 on 外的附近邻域。 (1) (2) (3) 作函数 其中 待定。 显然该函数满足(1)与(3)，下面验证(2)。 (1) (2) (3) 显然该函数满足(1)与(3)，下面验证(2)。 显然 充分大时，必有 p99:3. 设区域 具有下述性质：对 的边界 上的 定理4.2 任一点 都可作一个属于区域 的开球 ，使其在点 与 相切。如果不恒等于常数的调和函数 在 上连续，在边界点 处取最小(最大)值, 则只要它在点 处关于 的外法向导数 存在，其 值必是负(正)的。 在 内的开球 。由于调和函数 不恒等于常数， 证 对任一边界点 ，由假设条件知，可取定一个包含 根据极值原理，它不能在的 内点取到最小值，因此 在开球 上的值恒大于在 点的值。由定理 4.2，只要导数 存在，它在 点处的值必是负的。 注 定理4.1与定理4.2统称为霍普夫(Hopf)极值原理。 2.第二边值问题的唯一性 定理4.3 如果区域 的边界 满足定理4.2中的条件，那么同个诺伊曼内问题的解在相差一个常数下是唯一的。 证 假设 满足 则 满足 不恒等于常数，则由极值原理，知其最小值必在 上达到，再由定理4.2，在 取最小值的点处外法向上 的方向导数 就不能等于零，从而导致矛盾。 因此 必等于一个常数。 定理4.3 设区域 满足外切球条件，则诺依曼外问题的解如果存在，必是唯一的。 则 满足 证 假设 满足: 下面证明 球 st: 面类似于定理4.3证明，它又不能在 上取到极值。 根据极值原理， 不能在 内取到极值；另一方 因此 只能在 上取到极值。 从而 3. 用能量积分法证明边值问题的解的唯一性 由 与 的任意性，即知 *前面我们在 条件下用极值原理证明调和方程的唯一性。如果 则我们可直接用能量积分法，其中 。 则 如果 或 故 即知 (常数)。 ii 解为常数，即 在相差一个常数 下解唯一。 i 只有零解，即 有唯一解。 p.99:2,3. 因此 二、傅里叶方法，分离变量法，解的性态，极值原理及应用； 考试要点： 一、达朗贝尔公式计算，齐次化原理，能量方法，高维泊松公式，分离变量法，解的性态； 三、变分法，格林函数法，极值原理及其应用，分离变量法。 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *