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如果一个算法的某处说明没有数学支撑，那肯定是不能令人放心的，BBR的收敛性模型从来都是模糊的，不如AIMD那样直接，但还是有一些有意思的动力学过程在里面的。

在Neal Cardwell的github里藏着一篇关于BBR收敛动力学的文档 BBR bandwidth-based convergence ：
https://github.com/google/bbr/commit/c38ae279b67fe1e9b485903daa3f808f7c6e44d4

这篇文档的结论是：

• 初始化带宽越小的流在up probe之后获得的加速比越大。

该结论对应的截图如下：

以下是Neal的推导过程：

看完了这个推导，我在BBR的convergence region坐标里画了一个具体的收敛过程。

我自中学就喜欢各种几何，所以一有实际问题，我总喜欢把它们摆在一个坐标系里比划，我对在坐标系里解决问题的方法情有独钟，这也算是我的一种方法论。

首先我来解释一下convergence region坐标系各个元素的含义：

总带宽为1的约束下，设A，B两条流初始带宽分别为$a$和$1-a$，则该状态在convergence region坐标系的坐标为$(a,1-a)$，如果它们分别up probe一次，则它们将获得不同的带宽，于是便可以得到A，B两条流各自的带宽增量表达式。

注意，坐标系中各个点的坐标通过解析几何的各种方法很容易计算，比如直线求交点。

用变量$x$替换$a$，即$x$为共享带宽为1的A，B两条流中A的带宽，两条流分别up probe之后，其各自带宽增量的函数表达式：

• probing-increment function for A:

$f(x)=0.25\frac{x(1-x)}{0.25x+1}$

• probing-increment function for B:

$g(x)=0.25\frac{x(x-1)}{1.25-0.25x}$

用GeoGebra画出二者的图像：

很清楚地看到二者在$x=0.5$处相交，且关于$x=0.5$对称。当$x>0.5$时，B的带宽小于A，B的up probe加速比大于A，反之，$x<0.5$时，B的带宽大于A，B的up probe加速比小于A。

下面是A，B两条流在ProbeBW状态的收敛过程(先不管ProbeRTT状态)：

不断收敛的BltBW坐标在convergence region坐标系中攀爬的典型过程如下：

这个ProbeBW状态下收敛过程的核心正是那个时间窗口内的max-filter函数，它可以让一条流继续使用已经被抢占的带宽继续up probe，这个正是Neal推导的那个带宽与加速比的负相关性得以运作的核心：

• max BltBW是即时采集到的，但max BltBW的衰减是缓慢进行的，利用时间差来进行up probe的收敛。

如果没有上述不对称的过程，假设BltBW的感知是即时的，当使用即时的BltBW去进行up probe的时候，事实上是不会收敛的：

这明显是一个MAMD(Multiplicative Increase and Multiplicative Decrease)过程，inflight按照乘性系数伸缩，收敛点永远在同一条直线上。

所以说，不能离开max-filter函数。这就是 Note that even after flow A probes, flow B’s estimated bandwidth would be a function of B’s max-filtered bandwidth samples, which would still include at least one round-trip of the rate “b”. So when sender B probes, it will be sending at a rate 1.25b. 这句话的直观解释。

max-filtered bandwidth samples意义重大。

虽然BBR在ProbeBW状态可以完成收敛，但为了确保BBR的正常运行，ProbeRTT状态是必不可少的，这个状态保证了RTprop的有效性。只要一个大象流进入了ProbeRTT状态，所有的流均将同时采集到RTprop，于是BBR天然地完成ProbeRTT状态的全局同步，而ProbeRTT之后即将进入ProbeBW之前，这里正是一个良好的收敛点，BBR在这里randomized了所有即将进入ProbeBW状态的流的ProbeBW phase，如此，BBR的收敛机制在这个几乎排空的管道里开始运行，someone probes for bandwidth while the other flow does not…

早些年，我不自量力地魔改BBR。

我随机化进入ProbeRTT的时间，却不知道如此便破坏了同步点后的公平收敛；我增加了两个cruise phase，却不知道这样就丢失了max-filter函数返回的max bw，ProbeBW状态的流再也无法收敛…

我们来看看在正确理论的指导下，如何调整gain系数。如果你不想要1.25了，那么换成多少好呢？如果比1.25大，会带来什么，如果比1.25小，又意味着什么？把增量函数画出来就明了了：

最高的那一组是gain=1.95的增量函数，中间的是gain=1.25的增量函数，最下面的那一组是gain=1.05的增量函数，这意味着它们大约对应的pacing rate up probe增量为大约65%，20%，1%，你想收敛快一点吗？代价是什么呢？是不是很容易选择了。

此外，max-filter函数也是可调整的，维持10个RTT真的好吗？如果我换成2个，会带来什么？在convergence region坐标系中画个过程吧，一切都将呈现在眼前。

现在，我觉得下面这张图可以被解释了：

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浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。