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这是我做的第二个leetcode题目，一开始以为和第一个一样很简单，但是做的过程中才发现这个题目非常难，给人一种“刚上战场就踩上地雷挂掉了”的感觉。后来搜了一下leetcode的难度分布表（leetcode难度及面试频率）才发现，该问题是难度为5的问题，真是小看了它！
网上搜了很多答案，但是鲜见简明正确的解答，唯有一种寻找第k小值的方法非常好，在此整理一下。
首先对leetcode的编译运行吐槽一下：貌似没有超时判断，而且small和large的数据集相差很小。此题一开始我采用最笨的方法去实现，利用排序将两个数组合并成一个数组，然后返回中位数：
- class Solution {
- public:
- double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n) {
- // Start typing your C/C++ solution below
- // DO NOT write int main() function
- int *a=new int[m+n];
- memcpy(a,A,sizeof(int)*m);
- memcpy(a+m,B,sizeof(int)*n);
- sort(a,a+n+m);
- double median=(double) ((n+m)%2? a[(n+m)>>1]:(a[(n+m-1)>>1]+a[(n+m)>>1])/2.0);
- delete a;
- return median;
- }
- };
该方法居然也通过测试，但是其复杂度最坏情况为O(nlogn)，这说明leetcode只对算法的正确性有要求，时间要求其实不严格。
另一种方法即是利用类似merge的操作找到中位数，利用两个分别指向A和B数组头的指针去遍历数组，然后统计元素个数，直到找到中位数，此时算法复杂度为O(n)。之后还尝试了根据算法导论中的习题（9.3-8）扩展的方法，但是该方法会存在无穷多的边界细节问题，而且扩展也不见得正确，这个可从各网页的评论看出，非常不建议大家走这条路。
最后从medianof two sorted arrays中看到了一种非常好的方法。原文用英文进行解释，在此我们将其翻译成汉语。该方法的核心是将原问题转变成一个寻找第k小数的问题（假设两个原序列升序排列），这样中位数实际上是第(m+n)/2小的数。所以只要解决了第k小数的问题，原问题也得以解决。
首先假设数组A和B的元素个数都大于k/2，我们比较A[k/2-1]和B[k/2-1]两个元素，这两个元素分别表示A的第k/2小的元素和B的第k/2小的元素。这两个元素比较共有三种情况：>、<和=。如果A[k/2-1]<B[k/2-1]，这表示A[0]到A[k/2-1]的元素都在A和B合并之后的前k小的元素中。换句话说，A[k/2-1]不可能大于两数组合并之后的第k小值，所以我们可以将其抛弃。
当A[k/2-1]>B[k/2-1]时存在类似的结论。
当A[k/2-1]=B[k/2-1]时，我们已经找到了第k小的数，也即这个相等的元素，我们将其记为m。由于在A和B中分别有k/2-1个元素小于m，所以m即是第k小的数。(这里可能有人会有疑问，如果k为奇数，则m不是中位数。这里是进行了理想化考虑，在实际代码中略有不同，是先求k/2，然后利用k-k/2获得另一个数。)
通过上面的分析，我们即可以采用递归的方式实现寻找第k小的数。此外我们还需要考虑几个边界条件：
- 如果A或者B为空，则直接返回B[k-1]或者A[k-1]；
- 如果k为1，我们只需要返回A[0]和B[0]中的较小值；
- 如果A[k/2-1]=B[k/2-1]，返回其中一个；
最终实现的代码为：
- double findKth(int a[], int m, int b[], int n, int k)
- {
- //always assume that m is equal or smaller than n
- if (m > n)
- return findKth(b, n, a, m, k);
- if (m == 0)
- return b[k - 1];
- if (k == 1)
- return min(a[0], b[0]);
- //divide k into two parts
- int pa = min(k / 2, m), pb = k - pa;
- if (a[pa - 1] < b[pb - 1])
- return findKth(a + pa, m - pa, b, n, k - pa);
- else if (a[pa - 1] > b[pb - 1])
- return findKth(a, m, b + pb, n - pb, k - pb);
- else
- return a[pa - 1];
- }
- class Solution
- {
- public:
- double findMedianSortedArrays(int A[], int m, int B[], int n)
- {
- int total = m + n;
- if (total & 0x1)
- return findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1);
- else
- return (findKth(A, m, B, n, total / 2)
- + findKth(A, m, B, n, total / 2 + 1)) / 2;
- }
- };
我们可以看出，代码非常简洁，而且效率也很高。在最好情况下，每次都有k一半的元素被删除，所以算法复杂度为logk，由于求中位数时k为（m+n）/2，所以算法复杂度为log(m+n)。