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1. 间隔的直观理解

这一章从“间隔”这个概念开始讲述SVM（支持向量机）模型。本文会以实际的例子让读者对于“间隔”的概念有一个更清晰直观的理解。我们会将前两节总结的思想在第三节通过数学语言来描述。

对于logistic分类模型，由公式$h_\theta(x)=g(\theta^Tx)$计算条件概率$p(y=1|x; \theta)$。只有在$h_\theta(x) \ge 0.5$我们会预测y=1，等价于$\theta^T x \ge 0$时y=1。对单个正样本(y=1)而言，$\theta^T x$的值越大，条件概率$p(y=1|x; \theta)$就越大，那我们就更“确信”这个样本标记为1。这样模型就有一个很好的优化方向，寻找参数$\theta$使得当$y^{(i)} = 1$时$\theta^T x>>0$，同理当$y^{(i)} = 0$时使$\theta^T x < < 0$，这反映我们对训练样本分类结果的确定性。我们将会通过函数间隔来刻画这个思想。

注意看下面这张图，叉叉代表正样本，圆圈代表负样本。我们画出了一条决策线（也可称为分离超平面，其上的点满足$\theta^T x = 0$）。我们标出了三个示范点A、B、C。

可以很容易的发现A点离决策线很远，而C点离决策线很近。我们可以很有信心的说A是一个正样本(y=1)，但C点就不太确定了，决策线的参数只需稍有改变，C点就极有可能变成负样本（y=0）。B点相对决策线的距离在A、C之间，我们对它的确信度也在A、C之间。整理一下思路，我们需要找到一条直线使得直线两边的点到它的距离都尽可能的远，这样我们才能确信自己的判断。我们之后会以物理间隔这个概念来描述此问题。

标记符

之后支持向量机的讨论中，我们将使用一组新的标记符。对于二分类问题中的线性分类器，标注记为$y$，特征为$x$。我们令y的值域为$y \in \{ -1, 1 \}$（而非$\{ 0, 1\}$）。同时模型参数的标记从向量$\theta$变为$w,b$。公式即改写为：

$$h_{w,b}(x) = g(w^Tx + b)$$
对于函数 $g$，当$z \ge 0$时 $g(z) = 1$，当 $z \le 0$时 $g(z) = -1$。当前 $w,b$组合的标记符有利于我们将截距项 $b$从众多参数中分离出来。
还有一点需要注意，从函数$g$的定义可以看出这个分类器会直接预测1或-1，这一点和感知器模型是一致的。而不是像logisitc分类器先求解y=1的条件概率 $P(y=1|\theta; x)$后再做判断。

函数间隔和物理间隔

这一节将正式给出函数间隔和物理间隔的数学定义。对某一给定训练样本$(x^{(i)},y^{(i)})$，我们定义其函数间隔为：

$$\hat{\gamma}^{(i)} = y^{(i)} ( w^T x^{(i)} + b)$$
从上式可以看出，当 $y^{(i)}=1$时要使函数间隔变大，只需增大 $w^T x +b$。同理当 $y^{(i)}=-1$只需减小 $w^T x +b$函数间隔就会增大。同时当 $y^{(i)} ( w^T x^{(i)} + b) \ge 0$即代表我们预测正确。因此足够大的函数间隔表示这是一个置信度很高的正确预测。

对于某一给定训练集$S = \{ (x^{(i)}, y^{(i)}); i = 1, \cdots, m\}$，我们定义训练集中最小函数间隔记为$\hat{\gamma}$：

$$\hat{\gamma} = \min_{i=1,\cdots,m} \hat{\gamma}^{(i)}$$

但是用函数间隔描述置信度存在一个问题，如果我们将参数从$(w,b)$替换成$(2w,2b)$那么函数间隔会扩大一倍，但实际并不能增加置信度。直觉告诉我们，这里可能需要有一个归一化条件比如$\Vert w \Vert_2 = 1$，将$(w,b)$替换成$(w/\Vert w \Vert_2, b/\Vert w \Vert_2)$再来计算函数间隔，这就引出了几何间隔的概念。我们接下来讨论几何间隔，看下图：

我们画出了决策线，易见$w$同决策线正交（垂直）。点A是一个输入为$x^{(i)}$标记为$y^{(i)}=1$的正样本。它到决策线的距离$\gamma^{(i)}$就是线段AB。我们如何确定$\gamma^{(i)}$的数值呢？首先$w/\Vert w \Vert$是$w$的单位向量，点A的坐标为$x^{(i)}$那么点B的坐标可表示为$x^{(i)} - \gamma^{(i)} \cdot w/\Vert w \Vert$，又点B在决策线上则有：

$$w^T \bigl( x^{(i)} - \gamma^{(i)} \frac{w}{\Vert w \Vert} \bigr) + b = 0$$
求解方程得：

$$\gamma^{(i)} = \frac{w^T x^{(i)} + b}{\Vert w \Vert} = \Bigl( \frac{w}{\Vert w \Vert} \Bigr)^T x^{(i)} + \frac{b}{\Vert w \Vert}.$$

这就是几何间隔的数学公式。当$\Vert w \Vert = 1$时，几何间隔和函数间隔相等。从公式中可以发现参数的缩放不会影响几何间隔的大小。

最后，对于某一给定训练集$S = \{ (x^{(i)}, y^{(i)}); i = 1, \cdots, m\}$，我们定义训练集中最小几何间隔记为$\gamma$：

$$\gamma = \min_{i=1,\cdots,m} \gamma^{(i)}$$

本文主要内容来自吴恩达老师网易公开课机器学习中的课件，本人自行翻译并重新对文章进行编辑排版，转载请注明出处