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第+|，匕卷第一期2001年2月 信l{：：}处理 SlGNAL PROCESSING V01．17．NO．1 Feb．200l 行正交矩阵的分层克罗内克积扩大法 孙鹏勇 惠晓威 宋亮 (辽宁工程技术大学) 【摘要】本文给fJ{了行正交矩阵的分层克罗内克积扩人法，以及扩人后矩阵的快速算法，利用分层克罗内克积扩大法构造丫L2窄问．k的正交完全系。 关键词：正交变换快速算法分层克罗内克积矩阵扩人法一、引言 由于数4≯技术和计算机的发展，特别是各种快速算法的⋯现，应用离散正交变换进行信5：i：}处理的优越性进一步显现jB来。离散正交变换被应用到语言与图像处理、数据压缩、广义维纳滤波、模式识别的特征选择、卷积 ．oj相关处理、逻辑l|．i路的设计、多路复用等方面。 不同的变换适用于不I司的问题，Harry函数除了前面两个函数其余函数都是区域函数，适于局部区域的逼近；而Walsh函数足会域函数适于祚整个正交区间上起逼近作用。已经证I删，对于亮度逐渐改变的图像用斜向量米表示足适合的，l面在均方误差最小意义下扶得数据压缩的最佳变换足K—L变换。70年代初出现的数论变换可用来汁算有理整数序列的卷积，具有更快的速度，并目．没有舍入误差。爱得华研究了应用沃尔什变换米综合二进数 字Icl路的方法，chrestenson函数系和Watari函数系也受到1r重视。1976年，M．G．Karpasky把它们应用于多值逻辑电路的设计中取得了～些成果。 为了更有成效地寻求适用于某一类问题的正交变换及其快速算法就⋯现丫统一现有变换及JC伙速算法的企 图。1978年，H p O c Jl a B C K H n．，f．H．提出了快速算法的一个统一理论【I】。他认为具有快速算法的本质 存于矩阵可。写成克罗内克积或分层克罗内克积的形式，因而可以分成稀疏矩阵的乘积。g p O c Jl a B c Ic 14 n 给小了建也伙速算法的几个基本性质，其中包括下面四条性质： 、性质1：(Aj彳2⋯彳。)00l口2⋯B，，)=(A。oBl)(彳2 o B2)⋯(爿。oB。) 其中A．，A’’．．．彳旷B．，B2，⋯B。代表矩阵。圆表示克罗内克积。 性质2：M。oM坩=∽。01／,J【，，@M朋J Ii表示i阶甲．位阵，M。及Mpq分别代表r×S矩阵及pq矩阵，下同。 性质。：IZ：：：Z三i=【M，、。M。】iZ二i 其中。代表直和 ’ 性质4： G讪@M‘‘ G，：@M⋯： G‰圆M饥 r，· ] 。峄‰J q～o，^ G【Il圆lh Gu。圆|s。 I￡中G‘，，为1×ai的行向量，M¨为，j XSi矩阵，／～为S " 阶单位阵，是为直和连加节。a·Sl=a2Sz。⋯2‰sn。 然m，爿p 0 c JI a B C lt 14 n没有用分层克罗内克积来构造、扩火行正交矩阵，构造正交完全系．这正 足本义所做的工作，本文给iJj了行正交矩阵的分层克罗内克积扩人法，导出了快速算法，给出了行正交矩阵延续法，从而构造出完全的正交系，并给小了两类广义哈尔延续矩阵。 万方数据 第一期 行『E交矩阼的分层克罗内克积扩火泫 6l 设向量爿，：G：，口：i，⋯口二)爿7；(口f，a；，⋯日二)B”：(67，6；，⋯6：) 口”=(6i，6；，⋯“J 七I=A。p占” 七2=A。o口”，若A 7 o Aj：o或∥o B”=o，则KI o K2：o。其中。代表 二向量内积，秤向量的分量属于复数域；o表示克罗内克积。 ii|：illJJ： ·．·Kl=A。@B”=b槲，口JlD2u，⋯口JID，，U，a御⋯一，口0