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积分第一中值定理与腐乳烂泥积分伏汝兰尼（Froullani）积分
积分第一中值定理：
$$f(\xi )(b-a)={\int }_a^{b}f(x)dx$$
证明方法一：闭区间上连续函数的最值与介值定理
https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF%E5%88%86%E7%AC%AC%E4%B8%80%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86/19206375?fr=aladdin

证明方法二：对F(x)使用拉格朗日中值定理或罗尔定理
$$F(x)={\int }_a^{x}f(x)dx,F(x)可导$$

推广：
$${\int }_a^{b}g(x)f(x)dx=g(\xi ){\int }_a^{b}f(x)dx$$

如果函数f 在闭区间 上连续，g 在闭区间 上不变号，并且 g在闭区间 上是可积的

证明方法：最值介值定理和柯西中值（证明闭区间结论的一定是牵扯到函数的连续性，开区间的一定是出现在微分中值定理）

伏汝兰尼（Froullani）积分:
$${\int }_m^M\frac{f(ax)-f(bx)}{x}$$
$${\int }_{ma}^{Ma}\frac{f(x)-f(x)}{x}-{\int }_{mb}^{Mb}\frac{f(x)-f(x)}{x}$$

$${\int }_{ma}^{mb}\frac{f(x)-f(x)}{x}-{\int }_{Ma}^{Mb}\frac{f(x)-f(x)}{x}$$

然后使用积分中值定理计算极限的方法,提出定值即可

注：广泛的联系 拉格朗日的证明方法有一种分析方法是构造原函数G(a)=G(b),罗尔定理。

罗尔定理的证明使用闭区间函数的最值定理与费马引理[每一个可导的极值点都是驻点]

伏汝兰尼（Froullani）积分
还可用参变量的积分证明*