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本来觉得层次分析法相关的文章多如牛毛，并没有什么讲解的必要，但是突然发现大部分文章对于原理性的分析完全掠过，这里进行一个详尽的分析。这篇文章主要讲解一下以下几个内容：

• 何为矩阵一致性？
• $CI=({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$为什么减的是n？
• 为什么是$({\lambda }_{max}-n)$不是$(n-{\lambda }_{max})$？
• $CI=({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$为什么除的是(n-1)？
• 何为$RI$？

何为矩阵一致性？

人的感觉是不准确的，我们已经假设A比B牛逼2.5倍，假设B比C牛逼3.5倍，按照常理来说A比C牛逼8.75倍，但人不是机器，感觉不是数值，有些人可能会觉得A比C牛逼一大截，但是这个倍数可能是5倍可能是10倍，甚至有一些人可能会认为A不如C。

因此一致性检验就是检验你的人为判断是不是合理，判断你有没有“猫抓老鼠、大象克猫，老鼠克大象”这样循环克制的离谱判断：

因此，何为具有完全一致性的判断矩阵？

假设你各个指标的权重为${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$，那么你的判断矩阵就应该是：
$$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{{\omega }_1}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_1}{{\omega }_n}\\ \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_2}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_2}{{\omega }_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\omega }_n}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_n}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_n}{{\omega }_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_1}{{\omega }_n}\\ \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}& 1& \dots & \frac{{\omega }_2}{{\omega }_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\omega }_n}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_n}{{\omega }_2}& \dots & 1\end{array}\right]$$

RI是如何和n扯上关系的？

分两种情况讨论，一种是判断矩阵具有完全一致性，所有列都是权重向量的倍数，另一种则是大部分情况下的不具有完全一致性的判断矩阵，此时秩不为1，但是依旧是正互反的(对角线两侧数值互为倒数且均为正数)。

具有一致性的判断矩阵，此时秩一矩阵的性质，小学二年级都可以倒背如流，因为秩一，所以只有一个非零特征值，而原本的权重向量就是非零特征值对应的特征向量，而判断矩阵的特征值就是矩阵的大小n。浅浅的证明一下：

定理1：具有一致性的正互反矩阵最大特征值等于矩阵阶数n

$$\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}& \dots & \frac{{\omega }_1}{{\omega }_n}\\ \frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}& 1& \dots & \frac{{\omega }_2}{{\omega }_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\omega }_n}{{\omega }_1}& \frac{{\omega }_n}{{\omega }_2}& \dots & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ ⋮\\ {\omega }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ ⋮\\ {\omega }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{{\omega }_1}& \frac{1}{{\omega }_2}& \cdots \frac{1}{{\omega }_n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ ⋮\\ {\omega }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\omega }_1\\ {\omega }_2\\ ⋮\\ {\omega }_n\end{array}\right]n$$
欸，简直不要太简单。

对于更普遍的情况，我们并不只有一个非0特征值，但是，对角线都是1这个性质还在啊。小学一年级都知道，矩阵的迹等于矩阵的特征值之和，矩阵的迹那就是n个1相加那就是n啊，那么显然就有：

$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=n$$

那么！！！
$${\lambda }_{max}-n={\lambda }_{max}-\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$
即$({\lambda }_{max}-n)$为扣除最大特征值的，其他特征值和的相反数，嗯？相反数？？？这什么情况，难道正互反矩阵的最大特征值一定大于n所以其他特征值之和为负数所以要取个相反数？？

定理2：正互反矩阵不具有完全一致性时，其最大特征值大于矩阵阶数n

假设A不具有完全一致性，此时假设其最大特征值${\lambda }_{max}$对应的特征向量为$[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T$,即：
$$A\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]={\lambda }_{max}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{i1}& a_{i2}& \dots & a_{in}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]={\lambda }_{max}{x}_i$$

假设此时存在矩阵$E$，满足$e_{ij}=a_{ij}\frac{x_j}{x_i}$，那么此时矩阵$E$也就是正互反的:
$$e_{ij}^{-1}={\left(a_{ij}\frac{x_j}{x_i}\right)}^{-1}=e_{ij}^{-1}\frac{x_i}{x_j}=a_{ji}\frac{x_i}{x_j}=e_{ji}$$
此时有：
$$\sum _{j=1}^n{e}_{ij}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{x_j}{x_i}=\frac{{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j}{x_i}=\frac{{\lambda }_{max}{x}_i}{x_i}={\lambda }_{max}$$
同时又因为当$x>0,x\ne 1$时有$x+\frac{1}{x}>2$：
$$\begin{array}{rl}n{\lambda }_{max}& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{e}_{ij}\\ & =\sum _{i=j}{e}_{ij}+\sum _{i\ne j}{e}_{ij}\\ & =n+\sum _{i>j}(e_{ij}+e_{ij}^{-}1)\\ & >n+\frac{1}{2}(n^2-n)\times 2\\ & =n^2\end{array}$$
因而${\lambda }_{max}>n$.

因此，$({\lambda }_{max}-n)$为扣除最大特征值的，其他特征值和的绝对值，而因为其他值有$(n-1)$个,因此$({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$可以看作其他特征值平均值的绝对值。由于矩阵如果具有完全一致性，其他特征值将会均为零，因而$CI=({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$数值越小，说明矩阵具有越强的一致性。

何为RI？

$CI=({\lambda }_{max}-n)/(n-1)$数值越小，说明矩阵具有越强的一致性。那么小到何种程度我们才能说明判断矩阵是可以用的，说明这个人整体的判断是没问题的？我们要和啥子做对比呢。。。因此有了RI这个东西，即CI的期望，那么$\frac{CI}{RI}<0.1$不就意味着$CI<0.1E[CI]$

我们可以通过随机构造大量元素数值为{9,8,…2,1,1/2…,1/8,1/9}\{9,8,\dots2,1,1/2\dots,1/8,1/9\}{9,8,…2,1,1/2…,1/8,1/9}的正反对称矩阵，求取其$CI$并计算其平均值，可以编写代码如下(有误差，可能由于随机数生成机制导致，实际使用时建议查表获取)

function RI=getRI(n)
times=100000;
CIs=zeros(1,times);
for t=1:timesCI=getCI(n);CIs(t)=CI;
end
RI=mean(CIs);function CI=getCI(n)A=eye(n);Rmat=[9 8 7 6 5 4 3 1 2 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9];for i=1:n-1for j=i+1:nrandNum=randi(17);A(i,j)=Rmat(randNum);A(j,i)=Rmat(18-randNum);    end   endlam=max(eig(A));CI=(lam-n)/(n-1);end
end

虽然不是很重要，但是也给个层次分析法代码叭：

A=[1 2 3 4;1/2 1 1 2;1/3 1 1 1;1/4 1/2 1 1];
%这里输入你要分析的A矩阵，这里随便输入了一个n=size(A,1); % 获取矩阵阶数
[V,E]=eig(A);% 求特征向量及特征值
[~,ind]=find(E==max(E,[],[1,2]));% 最大特征值对应特征向量
W=V(:,ind);
W=W./sum(W);CI=(E(ind,ind)-n)/(n-1);
RI=[0,0,0.58,0.9,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45];CR=CI/RI(n);% 计算相对误差
if CR<0.1   % 如果CR小于0.1则可以接受disp('此矩阵的一致性可以接受!');disp('CI=');disp(CI);disp('CR=');disp(CR);disp('W=');disp(W);
elsedisp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end