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一：作用
最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。
二：概念
举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有27个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，你可以看出 cnblogs 和 belong 的公共子序列吗？在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？
从图中可以看到最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。
三：解决方案
1. 枚举法
这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列个数有27个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。
2. 动态规划
既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。
第一步：先计算最长公共子序列的长度。
第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。
现有两个序列X={x1,x2,x3，...xi}，Y={y1,y2,y3，....，yi}，设一个C[i,j]: 保存Xi与Yj的LCS的长度。
递推方程为：
不知道大家看懂了没？动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(Xi,Yi)的最大子序列长度，代码如下：
public class Program
{
static int[,] martix;
static string str1 = "cnblogs";
static string str2 = "belong";
static void Main(string[] args){
martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
LCS(str1, str2);
//只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可
Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);
Console.Read();
}
static void LCS(string str1, string str2){
//初始化边界，过滤掉0的情况
for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
martix[i, 0] = 0;
for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
martix[0, j] = 0;
//填充矩阵
for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
{
for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
{
//相等的情况
if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
}
else
{
//比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
martix[i, j] = martix[i - 1, j];
else
martix[i, j] = martix[i, j - 1];
}
}
}
}
}
图大家可以自己画一画，代码完全是根据上面的公式照搬过来的，长度的问题我们已经解决了，这次要解决输出最长子序列的问题，采用一个标记函数 Flag[i,j]，当
①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1 时标记Flag[i,j]="left_up"; (左上方箭头)
②：C[i-1,j]>=C[i,j-1] 时标记Flag[i,j]="left"; (左箭头)
③: C[i-1,j] 时 标记Flag[i,j]="up"; (上箭头)
例如：我输入两个序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。
public class Program
{
static int[,] martix;
static string[,] flag;
static string str1 = "acgbfhk";
static string str2 = "cegefkh";
static void Main(string[] args){
martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];
LCS(str1, str2);
//打印子序列
SubSequence(str1.Length, str2.Length);
Console.Read();
}
static void LCS(string str1, string str2){
//初始化边界，过滤掉0的情况
for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)
martix[i, 0] = 0;
for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)
martix[0, j] = 0;
//填充矩阵
for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)
{
for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)
{
//相等的情况
if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;
flag[i, j] = "left_up";
}
else
{
//比较“左边”和“上边“，根据其max来填充
if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])
{
martix[i, j] = martix[i - 1, j];
flag[i, j] = "left";
}
else
{
martix[i, j] = martix[i, j - 1];
flag[i, j] = "up";
}
}
}
}
}
static void SubSequence(int i, int j){
if (i == 0 || j == 0)
return;
if (flag[i, j] == "left_up")
{
Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:({1},{2})", str2[j - 1], i - 1, j - 1);
//左前方
SubSequence(i - 1, j - 1);
}
else
{
if (flag[i, j] == "up")
{
SubSequence(i, j - 1);
}
else
{
SubSequence(i - 1, j);
}
}
}
}
由于直接绘图很麻烦，嘿嘿，我就用手机拍了张：
好，我们再输入两个字符串：
static string str1 = "abcbdab";
static string str2 = "bdcaba";
通过上面的两张图，我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的时间，回溯时我们花费了O(M+N)的时间，两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。
空间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的空间，标记函数也花费了O(MN)的空间，两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。