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参考文献: L.C. Evans《Partial Differential Equations》2nd Ed, Berkeley.

在2019年9月29日，笔记(7)不见了，是因为“热传导方程”的解的光滑性还是有点没搞懂，等我搞懂了自然就补充了。

在看之前请确保熟悉散度定理（Green公式）等基本内容. 另外这部分涉及的计算非常多，一定要多算！！！！！！！！

下面我们讨论波动方程

和非齐次形式

的解, 其中给定一定的初始和边界条件. 这里

开. 要解的东西是

这里拉普拉斯算子是关于空间变量

的. 另外

给定. 通常我们也记

我们下面会说明波动方程的解和Laplace方程以及热传导方程的解的性质非常不一样, 比如波动方程的解通常不是

光滑的等等.

目录

1. 一维情形下的解、d'Alembert公式
2. d'Alembert公式与对称延拓
3. Euler-Poisson-Darboux方程
4. 三维情形下的解、Kirchhoff公式
5. 二维情形下的解、Poisson公式

1 d'Alembert公式的导出

和解Laplace方程、热传导方程找不变量不同, 下面我们提供一个非常优雅的解决方式来解高维情形. 先考虑一维情形, 然后再看高维. 下面考虑

这里

给定. 我们要用

来表示u.

注意到我们可以对波动方程作一个“分解”, 写

记

则

这是个常系数的输运方程(回顾笔记(1)), 套用相关公式可得

这里

代回v的定义式可得

这是非齐次输运方程, 记

再次代入输运方程的解(回顾笔记(1))则可以得到 （根据给定的初始条件可以得到

）

我们得到的就是d'Alembert公式.

定理1.1 [一维波动方程的解]设

定义

则:

证明：直接计算即可. QED

注：在d'Alembert公式中, 波动方程的解形如

相反这样的方程都可以解决

因此一维波动方程的通解就是

与

两个方程的通解之和. 详情见下面的例题: (过程比较简单, 略)

例1.1 回答下面问题:
(1)证明方程

的通解是

函数

是任意的.

(2)作变量代换

证明

根据(1)推导d'Alembert's公式.

(3)g,h在什么情况下方程的解u是右行波(right-moving wave)？左行波(left-moving wave)呢？

注：根据d'Alembert公式, 如果

则

因此波动方程不能马上推出初始条件函数的光滑性, 但是热传导方程可以.

2 d'Alembert公式与对称延拓

考虑下面的初始边界问题:

这里

给定且

下面作奇延拓:

则问题变成

根据d'Alembert公式,

再代入

的定义可得

若

则根据上面的式子,

可以看作波形g分为两部分, 一部分向右运动, 一部分向左运动, 速度都是1. 向左运动的波在

消失, 在这个地方振动的弦被固定住. 注意我们求得的解不是

连续的, 除非

QED

接下来我们要看

考虑下面初值问题

我们目标是用

来表示u, 方案是先看u在球上的积分的平均值. 而这个方案就是求解Euler-Poisson-Darboux方程. 再利用d'Alembert公式可以让我们最终找到这个高维波动方程的解.

3 Euler-Poisson-Darboux方程

先做一些符号约定. 记

是n维单位球的体积. 定义

这是

在半球面

上的积分平均. 类似我们定义

固定x, 下面我们把U看作关于r与t的函数, 并注意到U是一个PDE的解:

引理1.2 [Euler-Poisson-Darboux方程]固定

记$u$满足式(1), 则

且

注意

恰好是Laplace算子的极坐标形式.

证明：对于

回顾散度定理

而在球面

上y处的单位外法向量为

我们有

让

我们有

再对上式关于r再求导一次有

让

有

类似可以计算

则

另一方面, 由于

则

证明完成. QED

有了Euler-Poisson-Darboux方程, 我们可以把高维的转化为一维波动方程. 由于整个过程是比较复杂的, 所以我们接下来仅看更简单的

的情形(接下来讲的顺序也是如此).

4 3维情形: Kirchhoff公式

下面

并设

是初值问题(1)的解. 记

我们断言

是下面问题的解:

当然

注意到

根据d'Alambert公式的改进版, 对于

我们有

根据U的定义式,

则对

上面省略号部分主要是对

求导, 与我们证Euler-Poisson-Darboux方程的解的思路类似. 这就是初值问题(1)的三维情形的

5 2维情形: Poisson公式

时没有形如

的公式可以把Euler-Poisson-Darboux方程转化为一维波动方程. 我们不如把它看作

时的波动方程, 且第三个空间分量不会出现.

设

是

时问题(1)的解, 写

则问题变为

这里

如果我们记

则根据Kirchhoff公式(的化简过程中某一步), 有

这里是

是

中以

为心、t为半径的球,

是球面

的二维表面.

回顾第一型曲面积分, 下面我们对上式化简.

这里

这里多了系数2是因为球有上下表面.

注意

因此

则

由于

因此我们得到: 对

这就是二维情形下问题(1)的Poisson公式. QED

上面把

变成

的trick叫