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news 2025/8/23 7:31:51

通辽建设公司网站,百度官网电话客服24小时,wordpress导出用户,企业网站内容更新怎么操作设空间中一组带噪声的位于某个平面的散点，对于平面方程的一般表达式，对于不过原点的平面有，于是问题就变成了求系数A，B，C使得散点尽可能的落在该平面上。下面笔者将从两种角度来推导最小二乘下的最优解。求误差函数的…

设空间中一组带噪声的位于某个平面的散点 $(x_{i},y_{i},z_{i}),i=1,2,...,N$ ，对于平面方程的一般表达式 $Ax+By+Cz+D=0$ ，对于不过原点的平面有 $Ax+By+Cz+1=0$ ，于是问题就变成了求系数A，B，C使得散点尽可能的落在该平面上。下面笔者将从两种角度来推导最小二乘下的最优解。

求误差函数的极小值点的方法

设A，B，C为平面的最优参数，则对于每个点 $(x_{i},y_{i},z_{i}),i=1,2,...,N$ 带人该平面表达式中存在误差 $e_{i}=Ax_{i}+By_{i}+Cz_{i}+1$ ，我们将所有的误差的平方进行求和则有：

$E(A,B,C)=\sum_{i=1}^{N}e_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{N}(Ax_{i}+By_{i}+Cz_{i}+1)^{2}$ (1)

可见误差的平方和为A,B,C的函数，我们通过观察可以很容易的发现该函数是4维空间中的一个下凸超平面，且具有唯一的极小值，同时也是全局最小值。那么E对A,B,C的一阶偏导都为0，即：

$\left\{\begin{matrix} \frac{\partial E}{\partial A}=0\\ \frac{\partial E}{\partial B}=0\\ \frac{\partial E}{\partial C}=0 \end{matrix}\right.$ (2)

展开整理可得：

$\left\{\begin{matrix} A\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+B\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}+C\sum_{i=1}^{N}x_{i}z_{i}+\sum_{i=1}^{N}x_{i}=0\\ A\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}+B\sum_{i=1}^{N}y_{i}^{2}+C\sum_{i=1}^{N}y_{i}z_{i}+\sum_{i=1}^{N}y_{i}=0\\ A\sum_{i=1}^{N}x_{i}z_{i}+B\sum_{i=1}^{N}y_{i}z_{i}+C\sum_{i=1}^{N}z_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{N}z_{i}=0 \end{matrix}\right.$ (3)

我们令： $\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}$ ， $\bar{y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}$ ， $\bar{z}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}z_{i}$ ， $\bar{x^{2}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}$ , $\bar{y^{2}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}^{2}$ , $\bar{z^{2}}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}z_{i}^{2}$ ， $\bar{xy}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}$ ， $\bar{xz}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i}z_{i}$ ， $\bar{yz}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}y_{i}z_{i}$ 则（3）可以被写成如下形式：

$\left\{\begin{matrix} A\bar{x^{2}}+B\bar{xy}+C\bar{xz}+\bar{x}=0\\ A\bar{xy}+B\bar{y^{2}}+C\bar{yz}+\bar{y}=0\\ A\bar{xz}+B\bar{yz}+C\bar{z^{2}}+\bar{z}=0 \end{matrix}\right.$ (4)

可以看到（4）就是一个3元一次方程组，求解这个方程组就可以得到A,B,C的值。

几何的方法

下面来介绍如何使用几何的方法来进行推导，我们令 $X=\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ ...\\ x_{N} \end{bmatrix}$ ， ${X}'=\begin{bmatrix} -1-By_{1}-Cz_{1}\\ -1-By_{2}-Cz_{2}\\ ...\\ -1-By_{N}-Cz_{N} \end{bmatrix}$ ，现在的问题是找到合适的参数A使得 $AX$ 最接近 ${X}'$ ，它们的误差向量为 $AX-{X}'$ ，从几何的角度来看当误差向量 $AX-{X}'$ 与 $X$ 正交时有最优系数，即

$X^{T}(AX-{X}')=0$ （5）

将(5)展开可得：

$A\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}+B\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}+C\sum_{i=1}^{N}x_{i}z_{i}+\sum_{i=1}^{N}x_{i}=0$ （6）

可以看到（6）式即为（3）中的第一项。

我们分别令 $Y=\begin{bmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{N} \end{bmatrix}$ ， ${Y}'=\begin{bmatrix} -1-Ax_{1}-Cz_{1}\\ -1-Ax_{2}-Cz_{2}\\ ...\\ -1-Ax_{N}-Cz_{N} \end{bmatrix}$ ， $Z=\begin{bmatrix} z_{1}\\ z_{2}\\ ...\\ z_{N} \end{bmatrix}$ ， ${Z}'=\begin{bmatrix} -1-Ax_{1}-By_{1}\\ -1-Ax_{2}-By_{2}\\ ...\\ -1-Ax_{N}-By_{N} \end{bmatrix}$ ，同样地我们有： $Y^{T}(BY-{Y}')=0$ ， $Z^{T}(CZ-{Z}')=0$ ，展开后发现它们分别是式（3）中的第2和第3项。