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小球下落 （二叉树的应用）

 

有一棵二叉树，最大深度为D，且所有叶子的深度都相同。所有结点从上到下从左到右编号为1，2，3，...，2^D-1。在结点1处放一个小球，它会往下落。每个内结点上都有一个开关，初始全部关闭，当每次有小球落到一个开关上时，它的状态都会改变。当小球到达一个内结点时，如果该结点上的开关关闭，则往左走，否者往右走，直到走到叶子结点。
一些小球从结点1处依次开始下落，最后一个小球将会落到哪里呢？输入叶子深度D和小球个数I，输出第I个小球最后所在的叶子编号。假设I不超过整棵树的叶子个数（即2^(D-1)）。D<=20。输入最多包含1000组数据。
样例输入：
4 2
3 4
10 1
2 2
8 128
16 12345
样例输出：
12
7
512
3
255
36358

[分析]
不难发现，对于一个结点k，它的左儿子、右儿子的编号分别是2k和2k+1 。所以方法[1] 可以模拟程序输出结果。但是这种方法的缺点是：运算量太大 ，由于小球个数I可以高达2^(D-1)，每个测试数据下落总层数可能会高达2^19*(20-1)=9961472。所以效率比较低。

考虑方法[2] ，每个小球都会落在根结点上，因此前两个小球必然是一个在左子树，一个在右子树。一般地，只需看小球的编号的奇偶性，就能知道它是最终在哪棵子树中 。对于那些落入根结点左子树的小球来说，只需知道该小球是第几个落在根的左子树里的，就可以知道它下一步往左还是往右了。以此类推，直到小球落到叶子上。当I是奇数时，它是往左走的第(I+1)/2个小球；当I是偶数时，它是往右走的第I/2个小球。这样，可以直接模拟最后一个小球的路线 。这样，程序的运算量就与小球编号无关 了，而且节省了一个巨大的数组 tree，程序的效率很高。

[1] 通过模拟程序输出结果。

[cpp] view plain copy

1. #include <cstdio>  
2. #include <string>  
3. #include <ctime>  
4. #include <cstdlib>  
5. using std::string;  
6. const int manx=20;  
7. int tree[1<<manx];// the biggest number of node is 2^manx -1  
8. int main()  
9. {  
10. 10.     int D;// depth of tree, less_equal than 20  
11. 11.     int I;// number of small ball  
12. 12.     clock_t beg, end;  
13. 13.     while (scanf("%d%d",&D,&I)==2)  
14. 14.     {  
15. 15.         beg=clock();  
16. 16.         memset(tree,0,sizeof(tree));  
17. 17.         int k, n=(1<<D)-1;// n is the biggest number of nodes  
18. 18.         for (int i=0; i<I; ++i)  
19. 19.         {  
20. 20.             k=1;  
21. 21.             for (;;)  
22. 22.             {  
23. 23.                 tree[k]=!tree[k];  
24. 24.                 k=tree[k] ? k*2 : k*2+1;// choose the direction by switch tree[k]  
25. 25.                   
26. 26.                 if (k>n)// out of range     
27. 27.                     break;  
28. 28.             }  
29. 29.         }  
30. 30.         end=clock();  
31. 31.         printf("%d/n",k/2);// the number of node before out of range  
32. 32.         printf("time used: %lfs/n",(double)(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC);  
33. 33.     }  
34. 34.     return 0;  

35. }  

36. /* 

37. 16 65535 

38. 49151 

39. time used: 0.016000s 

40. */  

[2]  根据规律输出结果。

[cpp] view plain copy

1. #include <cstdio>  
2. #include <string>  
3. #include <ctime>  
4. #include <cstdlib>  
5. using std::string;  
6. int main()  
7. {  
8.     int D;// depth of tree, less_equal than 20  
9.     int I;// number of small ball  
10. 10.     clock_t beg, end;  
11. 11.     while (scanf("%d%d",&D,&I)==2)  
12. 12.     {  
13. 13.         beg=clock();  
14. 14.         int k=1;  
15. 15.         for (int i=0; i<D-1; ++i)  
16. 16.         {             
17. 17.             if (I%2)  
18. 18.             {  
19. 19.                 // odd  
20. 20.                 k=k*2;   
21. 21.                 I=(I+1)/2;  
22. 22.             }  
23. 23.             else  
24. 24.             {  
25. 25.                 //even  
26. 26.                 k=k*2+1;  
27. 27.                 I/=2;  
28. 28.             }  
29. 29.         }  
30. 30.         end=clock();  
31. 31.         printf("%d/n",k);  
32. 32.         printf("time used: %lfs/n",(double)(end-beg)/CLOCKS_PER_SEC);  
33. 33.     }  
34. 34.     return 0;  

35. }  

36. /* 

37. 16 65535 

38. 49151 

39. time used: 0.000000s 

40. */