鉴于朋友们普遍都说鄙人的电磁理论专栏涉及到的数学门槛太高，从本篇开始帮助大家补数学。

1 一元函数的微积分学

本章是全书知识体系中数学基础部分的第一章，读者的知识体系至少应满足现行《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》的要求。考虑到后续阅读的需要，本章首先简要介绍朴素集合论并将集合语言作为本书数学部分后续叙述的基本语言(这部分内容与现行普通高中数学教材中集合相关章节大体相当)，有相应基础的读者可直接跳过，无相应基础的读者建议认真阅读并充分掌握这部分有关概念。介绍了朴素集合论之后，将简要回顾自然数集、整数集、有理数集的定义，借助戴德金分划理论介绍严格的无理数定义和实数集、讨论实数集的完备性并以此作为施行极限运算的基础。在实数集的完备性基础上，讨论一元函数的极限、连续、微分、积分等重要概念及微分与积分的互逆运算关系和牛顿-莱布尼茨公式。随后简要介绍反常积分(也称瑕积分)和勒贝格积分。

1) 集合与实数集的完备性

朴素集合论由康托尔创立，在此基础上发展起来的公理化集合论已经成为现代数学理论体系中最基础的部分，本节只介绍朴素集合论，对公理化集合论感兴趣的读者可参看[1]。作为现代数学概念和逻辑体系中最基础的集合概念，显然不能在数学领域内通过更基础的概念来定义，朴素集合论对集合概念进行了如下描述：a)集合可以由任意不同事物组成；b)集合由组成它的全体事物唯一确定；c)任何性质都定义了一个具有该性质的事物的集合。组成集合的事物就称为该集合的元素。 集合与组成它的事物所具有的某种排列方式或顺序无关，这称为集合中元素的无序性。集合可以用组成它的全体事物来描述，也可以用定义这些事物的集合时所使用的性质来描述。 例如“全体蔬菜构成的集合”也可以描述为“白菜、青菜、菜花、土豆、西红柿、…”(西红柿到底属于水果还是蔬菜尚有争议，读者可自行决断)。某事物具有性质可记为，具有性质的全体元素组成的集合则可记为。另一方面，若已确知事物、、、组成集合，则可采用另一种列出集合中各个元素的记法，记为。能够逐一列出全部元素的集合称为可数集，否则就称为不可数集。集合与元素的关系只有两种可能(逻辑学上的排中律可以保证这一点)。对于事物和集合，若 是组成集合的事物则称“属于”并记为，否则称“不属于”并记为。集合与集合的关系根据两个集合中元素的关系来确定。最简单的情形是：如果集合中的“任何一个”元素都也是集合的元素，则称“包含于”或“包含”并记为或，并称是的子集。 这里的“任何一个”以及语义与此类似的“任意”、“所有”、“全部”等词汇，逻辑学中统称为全称量词，数学上用表示。可用符号改写为。符号表示“等价于”，符号表示“推出”。如果且，这表明集合中的所有元素也是的元素，的所有元素也是的元素，也就是集合与集合所具有的元素完全相同，此时称集合与集合相等，记为，否则称集合与集合不相等，记为。如果且则称“真包含于”或“真包含”，也称是的真子集，记为或。“不包含任何事物”显然也可以用来确定某个集合，该集合称为空集，记为。 若集合至少包含1个元素则称“非空”。显然空集是任意非空集合的真子集。在集合X与集合 Y 之间可以建立以下运算(如图 1-1-1所示)：

图 1-1-1 集合的并集、交集、差集

a) 和各自的所有元素为元素组成的集合称为与的并集，记为；b) 和共同具有的元素为元素组成的集合称为与的交集，记为；c) 具有且不具有的元素组成的集合称为与的差集，记为；若，则称集合为在中的补集，记为，此时一般将Y称为全集。d)将和各自的元素和按照在前，在后的次序组合，所得的事物称为元素和的有序对，记为，一切可能的有序对组成的集合称为集合和集合(按照在前，在后的次序)的直积或笛卡尔积，记为。这里使用的符号“”称为逻辑与，意味着两个条件都必须成立；符号“”称为逻辑或，意味着两个条件至少成立其中之一。单纯从语义上就可以判断，两个集合的交集一定是这两个集合的并集的子集(当然也是可以严格证明的)。读者在中小学阶段应当先后学习了自然数、整数和有理数，这里简要回顾有关概念。朴素的自然数概念是人类在长期的计数过程中建立起来的，鉴于古印度人在符号上的创造性贡献以及阿拉伯人对这些符号的传播(参阅文献[2])，至今绝大多数人依然把自然数(参阅文献[3])记为0、1、2、3、4、…，相应地由自然数组成的集合称为自然数集，记为。 引入负数概念后，从自然数定义了负数-1、-2、…并称为负整数，相应地将全体自然数和全体负整数组成的集合称为整数集，记为。 为了使除法运算(除数不为0)始终有意义，又引入了有理数的概念并将全体有理数组成的集合称为有理数集，记为， 并且还知道任意非0有理数都可以表示成既约分数(且)的形式。借助平面几何中学习过的平行线分线段成比例定理(或其推论：平行线等分线段定理)，在给定了平面内某定直线上的某定点(称为原点，通常记为)、某单位长度线段(称为单位“1”)及正方向之后，总可以使用尺规作图法找到该直线上能够代表任一有理数的点，这直线正是读者很熟悉的数轴。图 1-1-2所示数轴，原点为，线段为单位长度，正方向如图中所示。借助尺规作图可以找到数轴上代表整数的所有点(如图中蓝色圆周所示)，如果需要作任意非0有理数例如，则可采取下述步骤：a)以为原点，任作一不与直线重合的射线，在射线上以任意长度为半径依次截取(如图中红色圆周所示)；b)在上找到对应整数6的点，连结，过作线段平行于线段交于 E，则点E即为该数轴Ox$上对应有理数1.2的点。读者可以思考这样的问题：是否这直线上所有的点都能用这种方法与某个有理数对应？

图 1-1-2 在给定的数轴上用尺规作任意非0有理数有理数集中很容易借助构造法证明任意两个有理数之间至少存在1个有理数，再借助递归思想就很容易知道任意两个有理数之间有无穷多个有理数存在，这称为有理数集的稠密性。中学阶段将无限不循环小数称为无理数并通过“有理数和无理数统称实数”而引入实数概念，显然这一方式在逻辑上并非严密(为什么非得是“无限不循环小数”？)。建立严格的实数理论可以采用两种方式，其一是想办法通过读者们早已熟知的有理数来定义无理数，其二是将有理数和无理数一视同仁并据此建立公理化的实数理论。 本节采用比较符合一般认知发展规律的第一种方式，对第二种方式感兴趣读者可参看文献[1]。首先，给出有理数集的分划的概念。用某种方法将的所有元素分成两个非空集合和，使得任一有理数一定只属于或只属于，且中的所有元素一定比中的任何元素都小(有理数如何比较大小是已经严格定义了的，因此这么划分逻辑上没有困难)，则称集合和 共同定义了的一个分划。考虑这样的问题：既然中的所有元素一定比中的任何元素都小，那么很容易分析出存在以下两种可能性：a) 在中有最大的元素，在中没有最小的元素，例如和；b) 在中没有最大的元素，在中有最小的元素，例如和。在这两种情况下显然分划是由某个有理数定义的，例如这两个例子中的。接下来考虑另外两种可能性：c) 在中有最大的元素，在中有最小的元素，那么显然至少存在1个有理数使得，于是既不属于也不属于，显然违反了分划的定义因而这种情况不可能出现；d)在中没有最大的元素，在中也没有最小的元素，这种情况下就规定该分划定义了1个无理数。有了无理数的这种形式的定义之后，再通过“有理数和无理数统称实数”来引入实数概念，并将全体实数组成的集合称为实数集，记为。可能有读者会考虑，情况d) 是否真实存在？不妨回忆一下中学数学教材中早已介绍的使用反证法证明是无理数的方法。如果有一个分划定义了无理数，那么在对应的集合中是始终无法找到最大有理数(例如1.41比1.4大，1.414比1.41大，以此类推)，在集合中也是始终无法找到最小有理数的，正好符合情况d)。情况d) 的存在表明了有理数集是有“空隙”的。对照图 1-1-2，也许不少读者熟知借助勾股定理等用尺规作图在数轴上找出甚至、这样的无理数的方法，但更多的无理数是无法从有理数出发通过有限步骤的尺规作图找出来的(例如圆周率)，数轴上对应无理数的点要比对应有理数的点多得多！这也正是将描述为有“空隙”的集合的形象化的原因。通过两个分划定义了实数、之后，就可以通过分析、各自对应的分划所涉及的4个集合、、、之间的关系来比较这两个实数的大小(例如，若分划表明就可立即得到并以此来定义)，因此实数集也是有序的。实数集更重要的性质，也是极限和微积分运算得以实施的基本前提，称为实数集的完备性， 可以通过分划来证明这一性质。类比有理数集的分划，给出实数集的分划概念：用某种方法将的所有元素分成两个非空集合和，使得任一实数一定只属于或只属于，且中的所有元素一定比中的任何元素都小，则称集合和共同定义了的一个分划。 实数集的连续性表明，对于这样的任一分划，一定存在唯一的实数使得它要么是中的最大数，要么是中的最小数。证明过程采用反证法，首先把和各自中的有理数全部取出来分别组成集合和，则和一定是的一个分划于是它必然确定了实数。显然要么属于要么属于，无论属于哪个集合，都表明它要么是中的最大数，要么是中的最小数。不然的话，可以假设属于但却不是中的最大数，那就总可以在中找出一个比大的实数进而在中再找出一个既比大又比小的有理数， 于是显然属于。这就引出了矛盾：显然属于确定了实数的分划的那俩集合中元素都比更小的那个集合，但自己却比还大！ 同样地，如果假设属于但却不是中的最小数，也同样会引出矛盾！这就表明，在中已经不可能再像上面说到的中的最后一种情形d) 那样再通过分划定义新的数，这意味着中已经没有“空隙”留给新数，这称为实数集的完备性。 在几何上，实数集的完备性意味着“数轴上的点与实数一一对应，数轴上的所有点一个接一个地对应了某个实数”。在这样的逻辑体系中，任何实数都是借助有理数集的分划来定义的，同样地实数的四则运算和实数指数幂等基本运算也可以通过对分划的进一步分析来严格定义，并且实数集中的这些运算也有与在有理数集中完全相同的性质，本节就不再介绍了，感兴趣的读者可参阅文献[4]。[1] [俄罗斯]B. A. 卓里奇. 数学分析：第7版，第1卷[M]. 李植，译. 新1版. 北京：高等教育出版社，2019.[2] [美]V. J. Katz. 数学史通论[M]. 李文林，等译. 2版. 北京：高等教育出版社，2004.[3] [澳]陶哲轩. 陶哲轩实分析[M]. 王昆扬，译. 北京：人民邮电出版社，2008.[4] [俄]菲赫金哥尔茨. 微积分学教程. 第1卷：第8版[M]. 杨弢亮，叶彦谦，译. 3版. 北京：高等教育出版社，2006.