7 均摊分析

重点：通过表扩张掌握势能方法
通过求一个操作序列中所执行的所有操作的平均时间，来评价操作的代价
但是摊销分析不涉及概率，只是对最坏情况下的平均，关注不同操作间的差异

7.1 聚集方法

为每个操作赋予相同的摊销代价，即使序列中存在不同类型操作，聚集方法中每个操作的摊销代价即为平均代价

7.2 记账方法

不同的操作有不同的摊销代价

7.3 势能方法

定义一个势函数Φ，只要Φ(Dn)>=Φ(D0)

摊销代价依赖于所选择的势函数，不同的势函数可能产生不同的摊销代价，但他们都是实际代价的上界
对于栈操作：

7.4 表扩张操作

8 随机算法

重点掌握随机算法的设计应用

• 确定性算法：算法的步骤、结果、时间复杂度是确定的
• 随机算法：算法在同一实例上的计算复杂度是随机变量
• 随机投点法
  求π值，求定积分面积
• 平均值法
  无意识统计学家法则https://blog.csdn.net/i_dovelemon/article/details/76286192
  
• 素数测试问题
  素数必满足费马小定理，不满足费马小定理的一定不是素数，满足费马小定理不一定是素数
• 最小割问题
  随机选择一条边将其收缩成一个新顶点，生成最小割的概率是2/n²
• N皇后问题
  随机放，相互攻击的话就return false
• 随机选择算法：线性时间元素选择问题，输出第k小的元素
  抽选n^3/4个元素

对于拉斯维加斯算法，获得正确解的概率为p，则称该算法为p正确的拉斯维加斯算法

• 随机排序算法
  快速排序中随机选择一个点作为划分依据

9 近似算法

了解近似算法的近似比分析方法，重点分析简单近似算法的近似比

• 近似比：ε ρ
• 近似模式：多项式时间近似模式、完全多项式时间近似模式
  
• 顶点覆盖问题：
  **NP完全问题：**用尽量少的顶点覆盖所有边
  时间复杂度是O(|V|+|E|)
  每次任取一个边
• 装箱问题
  已有的箱子装不下的话就另开一个箱子
  时间复杂度是O(n²)
• 最短并行调度问题
  新任务给完成时间快的机器
• 旅行商问题(符合三角不等式)
  最小生成树+前序遍历+三角不等式
• 子集和问题：动态规划也行完全多现实性时间近似模式
  只选取y>last(1+delta)的元素
• 集合覆盖问题
  选择能覆盖的尽量多的未被覆盖的元素
• 不相交路径问题
  每次从图中删去路径最短的结点对
  证明不做要求
• 最大割问题**（NP完全问题）**
  定义cost函数，每次交换cost>0的点
  

10 树搜索策略（不考）

10.1 典型树搜索策略

10.2 人员分配问题

10.3 旅行商问题

1. 爬山法+分支限定法
2. 采用特定的剪枝策略，

10.4 A*算法

定义结点代价f(n)=g(n)+h(n), g(n)是根节点到当前结点的代价，h(n)是到未来目标节点的估计值
h(n)=0时，A*算法退化成dijsktra算法
h(n)比g(n)大很多时，只有h(n)起作用，演变成贪婪最佳优先搜索算法（greedy best-first search）

11 NP问题（概念）

• 连续统假设：不存在一个基数绝对大于可列集而绝对小于实数集的集合
• P类问题：确定性多项式时间可解
  
• NP问题：非确定性多项式时间可解
  
• NP难：如果NP里的每一个问题Q都能用多项式时间规约到问题S，那么S是NP难
  
• NP完全：NPC问题是NP里最困难的问题，如果任意一个NPC是多项式时间可解的，那么P=NP
  
  NPC问题：布尔公式的可满足性问题、整数线性规划问题、图着色问题、哈密顿环、旅行商、作业调度问题

12 优化算法

12.1 模拟退火算法

• 状态产生函数
• 状态接受函数
• 温度更新函数
• 初温设定、内循环终止、外循环终止
  模拟退火算法求解旅行商问题：随机选择两个结点，交换路径中这两个结点的位置

12.2 遗传算法

• 编码：二进制编码
• 得到初始种群
• 遗传：轮盘赌
• 变异：单点交叉/多点交叉（对于旅行商问题可以部分匹配交叉、顺序交叉、循环交叉）

12.3 粒子群算法

13 线性时间排序算法（不考）

13.1 比较排序的时间下界

决策树模型

比较排序算法的执行就是从决策树根到某个叶子所经过的路径

13.2 计数排序

假设输入是介于0-k之间的整数，开一个长度为k的数组

时间复杂度是O(n+k)，空间复杂度是O(n+k)，是稳定排序

13.3 基数排序

每一位数分别排序

13.4 桶排序