摘要：在海量数据中淘金，已是各大互联网公司的既定目标，亚马逊是数据化运营的成功典范，Google、百度投巨资用于对海量数据进行深度学习研究，阿里把数据与平台、金融并列成为未来三大战略。想在海量数据中淘到金子，强大的挖掘工具是必不可少的，而诸如回归、聚类、主成分分析、决策树等数据挖掘算法常常涉及大规模矩阵运算。这其中，大矩阵乘法具有较大的时间消耗，是算法的瓶颈。所以将矩阵乘法移植到分布式系统中进行运算，可谓是基本需求，所以本文暂且从最基础开始，简单介绍使用MapReduce实现矩阵乘法的方式。

简单回顾一下矩阵乘法：

矩阵乘法要求左矩阵的列数与右矩阵的行数相等，m×n的矩阵A，与n×p的矩阵B相乘，结果为m×p的矩阵C。

为了方便描述,先进行假设：

• 矩阵A的行数为m，列数为n，a_ij为矩阵A第i行j列的元素。
• 矩阵B的行数为n，列数为p，b_ij为矩阵B第i行j列的元素。

分析

因为分布式计算的特点，需要找到相互独立的计算过程，以便能够在不同的节点上进行计算而不会彼此影响。根据矩阵乘法的公式，C中各个元素的计算都是相互独立的，即各个c_ij在计算过程中彼此不影响。这样的话，在Map阶段可以把计算所需要的元素都集中到同一个key中，然后，在Reduce阶段就可以从中解析出各个元素来计算c_ij。

另外，以a₁₁为例，它将会在c₁₁、c₁₂……c_1p的计算中使用。也就是说，在Map阶段，当我们从HDFS取出一行记录时，如果该记录是A的元素，则需要存储成p个<key, value>对，并且这p个key互不相同；如果该记录是B的元素，则需要存储成m个<key, value>对，同样的，m个key也应互不相同；但同时，用于存放计算c_ij的a_i1、a_i2……a_in和b_1j、b_2j……b_nj的<key, value>对的key应该都是相同的，这样才能被传递到同一个Reduce中。

设计

普遍有一个共识是：数据结构+算法=程序，所以在编写代码之前需要先理清数据存储结构和处理数据的算法。

算法

map阶段

在map阶段，需要做的是进行数据准备。把来自矩阵A的元素a_ij，标识成p条<key, value>的形式，key="i,k",（其中k=1,2,...,p），value="a:j,a_ij"；把来自矩阵B的元素b_ij，标识成m条<key, value>形式，key="k,j"（其中k=1,2,...,m），value="b:i,b_ij"。

经过处理，用于计算c_ij需要的a、b就转变为有相同key（"i,j"）的数据对，通过value中"a:"、"b:"能区分元素是来自矩阵A还是矩阵B，以及具体的位置（在矩阵A的第几列，在矩阵B的第几行）。

shuffle阶段

这个阶段是Hadoop自动完成的阶段，具有相同key的value被分到同一个Iterable中，形成<key,Iterable(value)>对，再传递给reduce。

reduce阶段

通过map数据预处理和shuffle数据分组两个阶段，reduce阶段只需要知道两件事就行：

• <key,Iterable(value)>对经过计算得到的是矩阵C的哪个元素？因为map阶段对数据的处理，key（i,j）中的数据对，就是其在矩阵C中的位置，第i行j列。
• Iterable中的每个value来自于矩阵A和矩阵B的哪个位置？这个也在map阶段进行了标记，对于value（x:y,z），只需要找到y相同的来自不同矩阵（即x分别为a和b）的两个元素，取z相乘，然后加和即可。

数据结构

计算过程已经设计清楚了，就需要对数据结构进行设计。大体有两种设计方案：

第一种：使用最原始的表示方式，相同行内不同列数据通过","分割，不同行通过换行分割；

第二种：通过行列表示法，即文件中的每行数据有三个元素通过分隔符分割，第一个元素表示行，第二个元素表示列，第三个元素表示数据。这种方式对于可以不列出为0的元素，即可以减少稀疏矩阵的数据量。

在上图中，第一种方式存储的数据量小于第二种，但这只是因为例子中的数据设计成这样。在现实中，使用分布式计算矩阵乘法的环境中，大部分矩阵是稀疏矩阵，且数据量极大，在这种情况下，第二种数据结构的优势就显现了出来。而且，因为使用分布式计算，如果数据大于64m，在map阶段将不能够逐行处理，将不能确定数据来自于哪一行。不过，由于现实中对于大矩阵的乘法，考虑到存储空间和内存的情况，需要特殊的处理方式，有一种是将矩阵进行行列转换然后计算，这个时候第一种还是挺实用的。

编写代码

第一种数据结构

代码为：

import java.io.IOException;
import java.util.HashMap;
import java.util.Iterator;
import java.util.Map;import org.apache.hadoop.conf.Configuration;
import org.apache.hadoop.fs.Path;
import org.apache.hadoop.io.IntWritable;
import org.apache.hadoop.io.LongWritable;
import org.apache.hadoop.io.Text;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Job;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Mapper;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Reducer;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileSplit;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.TextInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.FileOutputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.TextOutputFormat;public class MatrixMultiply {public static class MatrixMapper extendsMapper<LongWritable, Text, Text, Text> {private String flag = null;// 数据集名称private int rowNum = 4;// 矩阵A的行数private int colNum = 2;// 矩阵B的列数private int rowIndexA = 1; // 矩阵A，当前在第几行private int rowIndexB = 1; // 矩阵B，当前在第几行@Overrideprotected void setup(Context context) throws IOException,InterruptedException {flag = ((FileSplit) context.getInputSplit()).getPath().getName();// 获取文件名称}@Overrideprotected void map(LongWritable key, Text value, Context context)throws IOException, InterruptedException {String[] tokens = value.toString().split(",");if ("ma".equals(flag)) {for (int i = 1; i <= colNum; i++) {Text k = new Text(rowIndexA + "," + i);for (int j = 0; j < tokens.length; j++) {Text v = new Text("a," + (j + 1) + "," + tokens[j]);context.write(k, v);}}rowIndexA++;// 每执行一次map方法，矩阵向下移动一行} else if ("mb".equals(flag)) {for (int i = 1; i <= rowNum; i++) {for (int j = 0; j < tokens.length; j++) {Text k = new Text(i + "," + (j + 1));Text v = new Text("b," + rowIndexB + "," + tokens[j]);context.write(k, v);}}rowIndexB++;// 每执行一次map方法，矩阵向下移动一行}}}public static class MatrixReducer extendsReducer<Text, Text, Text, IntWritable> {@Overrideprotected void reduce(Text key, Iterable<Text> values, Context context)throws IOException, InterruptedException {Map<String, String> mapA = new HashMap<String, String>();Map<String, String> mapB = new HashMap<String, String>();for (Text value : values) {String[] val = value.toString().split(",");if ("a".equals(val[0])) {mapA.put(val[1], val[2]);} else if ("b".equals(val[0])) {mapB.put(val[1], val[2]);}}int result = 0;Iterator<String> mKeys = mapA.keySet().iterator();while (mKeys.hasNext()) {String mkey = mKeys.next();if (mapB.get(mkey) == null) {// 因为mkey取的是mapA的key集合，所以只需要判断mapB是否存在即可。continue;}result += Integer.parseInt(mapA.get(mkey))* Integer.parseInt(mapB.get(mkey));}context.write(key, new IntWritable(result));}}public static void main(String[] args) throws IOException,ClassNotFoundException, InterruptedException {String input1 = "hdfs://192.168.1.128:9000/user/lxh/matrix/ma";String input2 = "hdfs://192.168.1.128:9000/user/lxh/matrix/mb";String output = "hdfs://192.168.1.128:9000/user/lxh/matrix/out";Configuration conf = new Configuration();conf.addResource("classpath:/hadoop/core-site.xml");conf.addResource("classpath:/hadoop/hdfs-site.xml");conf.addResource("classpath:/hadoop/mapred-site.xml");conf.addResource("classpath:/hadoop/yarn-site.xml");Job job = Job.getInstance(conf, "MatrixMultiply");job.setJarByClass(MatrixMultiply.class);job.setOutputKeyClass(Text.class);job.setOutputValueClass(Text.class);job.setMapperClass(MatrixMapper.class);// job.setReducerClass(MatrixReducer.class);job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class);job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class);FileInputFormat.setInputPaths(job, new Path(input1), new Path(input2));// 加载2个输入数据集Path outputPath = new Path(output);outputPath.getFileSystem(conf).delete(outputPath, true);FileOutputFormat.setOutputPath(job, outputPath);System.exit(job.waitForCompletion(true) ? 0 : 1);}
}

绘图演示效果：

第二种数据结构

代码为：

import java.io.IOException;
import java.util.HashMap;
import java.util.Iterator;
import java.util.Map;import org.apache.hadoop.conf.Configuration;
import org.apache.hadoop.fs.Path;
import org.apache.hadoop.io.IntWritable;
import org.apache.hadoop.io.LongWritable;
import org.apache.hadoop.io.Text;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Job;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Mapper;
import org.apache.hadoop.mapreduce.Reducer;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.FileSplit;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.input.TextInputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.FileOutputFormat;
import org.apache.hadoop.mapreduce.lib.output.TextOutputFormat;  public class SparseMatrixMultiply {public static class SMMapper extends Mapper<LongWritable, Text, Text, Text> {private String flag = null;private int m = 4;// 矩阵A的行数private int p = 2;// 矩阵B的列数@Overrideprotected void setup(Context context) throws IOException,InterruptedException {FileSplit split = (FileSplit) context.getInputSplit();flag = split.getPath().getName();}@Overrideprotected void map(LongWritable key, Text value, Context context)throws IOException, InterruptedException {String[] val = value.toString().split(",");if ("t1".equals(flag)) {for (int i = 1; i <= p; i++) {context.write(new Text(val[0] + "," + i), new Text("a,"+ val[1] + "," + val[2]));}} else if ("t2".equals(flag)) {for (int i = 1; i <= m; i++) {context.write(new Text(i + "," + val[1]), new Text("b,"+ val[0] + "," + val[2]));}}}}public static class SMReducer extendsReducer<Text, Text, Text, IntWritable> {@Overrideprotected void reduce(Text key, Iterable<Text> values, Context context)throws IOException, InterruptedException {Map<String, String> mapA = new HashMap<String, String>();Map<String, String> mapB = new HashMap<String, String>();for (Text value : values) {String[] val = value.toString().split(",");if ("a".equals(val[0])) {mapA.put(val[1], val[2]);} else if ("b".equals(val[0])) {mapB.put(val[1], val[2]);}}int result = 0;// 可能在mapA中存在在mapB中不存在的key，或相反情况// 因为，数据定义的时候使用的是稀疏矩阵的定义// 所以，这种只存在于一个map中的key，说明其对应元素为0，不影响结果Iterator<String> mKeys = mapA.keySet().iterator();while (mKeys.hasNext()) {String mkey = mKeys.next();if (mapB.get(mkey) == null) {// 因为mkey取的是mapA的key集合，所以只需要判断mapB是否存在即可。continue;}result += Integer.parseInt(mapA.get(mkey))* Integer.parseInt(mapB.get(mkey));}context.write(key, new IntWritable(result));}}public static void main(String[] args) throws IOException,ClassNotFoundException, InterruptedException {String input1 = "hdfs://192.168.1.128:9000/user/lxh/matrix/t1";String input2 = "hdfs://192.168.1.128:9000/user/lxh/matrix/t2";String output = "hdfs://192.168.1.128:9000/user/lxh/matrix/out";Configuration conf = new Configuration();conf.addResource("classpath:/hadoop/core-site.xml");conf.addResource("classpath:/hadoop/hdfs-site.xml");conf.addResource("classpath:/hadoop/mapred-site.xml");conf.addResource("classpath:/hadoop/yarn-site.xml");Job job = Job.getInstance(conf, "SparseMatrixMultiply");job.setJarByClass(SparseMatrixMultiply.class);job.setOutputKeyClass(Text.class);job.setOutputValueClass(Text.class);job.setMapperClass(SMMapper.class);job.setReducerClass(SMReducer.class);job.setInputFormatClass(TextInputFormat.class);job.setOutputFormatClass(TextOutputFormat.class);FileInputFormat.setInputPaths(job, new Path(input1), new Path(input2));// 加载2个输入数据集Path outputPath = new Path(output);outputPath.getFileSystem(conf).delete(outputPath, true);FileOutputFormat.setOutputPath(job, outputPath);System.exit(job.waitForCompletion(true) ? 0 : 1);}
}

绘图演示效果：

代码分析

比较两种代码，可以很清楚的看出，两种实现只是在map阶段有些区别，reduce阶段基本相同。对于其中关于行i、列j定义不是从0计数（虽然我倾向于从0开始计数，不用写等号，简单），是为了更直观的观察数据处理过程是否符合设计。

在第一种实现中，需要记录当前是读取的哪一行数据，所以，这种仅适用于不需要分块的小文件中进行的矩阵乘法运算。第二种实现中，每行数据记录了所在行所在列，不会有这方面的限制。

在第二种实现中，遍历两个HashMap时，取mapA的key作为循环标准，是因为在一般情况下，mapA和mapB的key是相同的（如第一种实现），因为使用稀疏矩阵，两个不相同的key说明是0，可以舍弃不参与计算，所以只使用mapA的key，并判断mapB是否存在该key对应的值。

两种实现的reduce阶段，计算最后结果时，都是直接使用内存存储数据、计算结果，所以当数据量很大的时候（通常都会很大，否则不会用分布式处理），极易造成内存溢出，所以，对于大矩阵的运算，还需要其他的转换方式，比如行列相乘运算、分块矩阵运算、基于最小粒度相乘的算法等方式。另外，因为这两份代码都是demo，所以代码中缺少过滤错误数据的部分。