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下面介绍一下几种典型的机器算法

首先第一种是高斯混合模型算法:

高斯模型有单高斯模型（SGM）和混合高斯模型（GMM）两种。

（1）单高斯模型：

为简单起见，阈值t的选取一般靠经验值来设定。通常意义下，我们一般取t=0.7-0.75之间。

二维情况如下所示：

（2）混合高斯模型：

 

      对于(b)图所示的情况，很明显，单高斯模型是无法解决的。为了解决这个问题，人们提出了高斯混合模型（GMM），顾名思义，就是数据可以看作是从数个高斯分布中生成出来的。虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ，但是 GMM是 最为流行。另外，Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的，通过增加 Model 的个数，我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。

    每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数：

 

                （1）

其中，πk表示选中这个component部分的概率，我们也称其为加权系数。

根据上面的式子，如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步：

（1）首先随机地在这 K 个 Component 之中选一个，每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 πk，选中了 Component 之后，再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布，转化为了已知的问题。假设现在有 N 个数据点，我们认为这些数据点由某个GMM模型产生，现在我们要需要确定 πk,μk,σk 这些参数。很自然的，我们想到利用最大似然估计来确定这些参数，GMM的似然函数如下：

        （2）

 

在最大似然估计里面，由于我们的目的是把乘积的形式分解为求和的形式，即在等式的左右两边加上一个log函数，但是由上文博客里的（2）式可以看出，转化为log后，还有log(a+b)的形式，因此，要进一步求解。

我们采用EM算法，分布迭代求解最大值：

EM算法的步骤这里不作详细的介绍，可以参见博客：

http://blog.pluskid.org/?p=39

贴出代码：

function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
%  - X: N-by-D data matrix.
%  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
%       components or a K-by-D matrix indicating the
%       choosing of the initial K centroids.
%
%  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
%       component generating each point.
%  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
%       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
%       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
%       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================
 
    threshold = 1e-15;
    [N, D] = size(X);
 
    if isscalar(K_or_centroids)
        K = K_or_centroids;
        % randomly pick centroids
        rndp = randperm(N);
        centroids = X(rndp(1:K), :);
    else
        K = size(K_or_centroids, 1);
        centroids = K_or_centroids;
    end
 
    % initial values
    [pMiu pPi pSigma] = init_params();
 
    Lprev = -inf;
    while true
        Px = calc_prob();
 
        % new value for pGamma
        pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
        pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);
 
        % new value for parameters of each Component
        Nk = sum(pGamma, 1);
        pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
        pPi = Nk/N;
        for kk = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
            pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
                (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
        end
 
        % check for convergence
        L = sum(log(Px*pPi'));
        if L-Lprev < threshold
            break;
        end
        Lprev = L;
    end
 
    if nargout == 1
        varargout = {Px};
    else
        model = [];
        model.Miu = pMiu;
        model.Sigma = pSigma;
        model.Pi = pPi;
        varargout = {Px, model};
    end
 
    function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
        pMiu = centroids;
        pPi = zeros(1, K);
        pSigma = zeros(D, D, K);
 
        % hard assign x to each centroids
        distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
            repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
            2*X*pMiu';
        [dummy labels] = min(distmat, [], 2);
 
        for k=1:K
            Xk = X(labels == k, :);
            pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
            pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
        end
    end
 
    function Px = calc_prob()
        Px = zeros(N, K);
        for k = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
            inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
            tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
            coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
            Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
        end
    end
end

    函数返回的 Px 是一个  的矩阵，对于每一个  ，我们只要取该矩阵第  行中最大的那个概率值所对应的那个 Component 为  所属的 cluster 就可以实现一个完整的聚类方法了。

 

参考资料：

【C++代码】

http://www.cppblog.com/Terrile/archive/2011/01/19/120051.html

http://www.autonlab.org/tutorials/gmm.html

http://bubblexc.com/y2011/8/

http://blog.pluskid.org/?p=39&cpage=1#comments