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引言
在结构动力学分析或设计中，常常会接触到“模态”这个概念。模态分析是动力学分析的基础，也是系统动力学设计最为关键的一个环节。
模态的英文为Modal或Mode，从字面理解，它表征一种形式或模式，实际上也差不多就是这个意思。在动力学中，可以理解为结构以某种方式运动。
模态包含固有频率/阻尼比和振型等特征；一个自由度为N的系统，它包含有N阶模态，通常将固有频率由小到大排列；结构设计中常说的结构基频，以及结构固有频率指的就是第一阶固有频率，也就是结构最低的频率。而对于一个分布参数系统（连续体），如梁、壳和实体等，它有无穷多个自由度，因此有无穷多阶模态，而在实际应用中，往往会对其采取截断的方法，只选取前面有用的M阶。
对于不熟悉结构动力学的设计师而言，一个结构具有多个固有频率可能是一个不那么好理解的现象；此外，为什么要有模态这么个概念，以及在动力学设计和分析中的作用是什么。对于上述疑问，本文尽可能给出直观，但不严格的说明和示例，以便更好的理解模态。
线性系统
在介绍模态之前，先简单介绍两个关系密切的概念：线性系统和频率响应函数。
线性系统的一个主要特点就是具有线性叠加的特性。换句话说，一个看起来比较复杂的系统，我们可以把它分解为一系列比较好理解的基础成分，再通过某种方式将它们组合起来。
举个直观的例子。
y=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)
看起来很复杂…
我们把y分解为3个部分
看起来是不是简单了不少，再按照原始方程把它们组合起来
这个就是线性叠加，这里将x看作了时间轴，y看作点的运动轨迹。
在动力学中，如果把x看作梁的长度方向，y看作是振动幅度，那么sin(x)之类就是我们的基础振动模式，y就是最大的振动幅度，梁的运动过程就变成了这样。
对于线性动力系统，响应可以通过一系列基础振动模式组合叠加。
线性系统还有一个特点是线性变换。
举个简单的例子。
二维空间有两个基本的坐标轴：e1=(1,0)和e2=(0,1)，那么空间中任意一点b可以通过e1和e2表示，假设b=(2,4)，那么b=2*e1+4*e2；如果将坐标轴换一个，分别为e1’和e2’；e1’=(1,1)和e2’=(-1,1)，那么b仍然可以通过e1’和e2’表示，b=3* e1’+1* e2’。
在线性空间里，我们把e1和e2叫做基；可以证明，N维空间内，或N自由度系统，任意一个点可以由任意N个轴将它描述出来；不过前提是N个轴是“线性无关”的，通常我们还会将它“正交化”和“归一化”；这里不展开讲，只是给予一个感官上的认识；具体可以参考线性代数教程。事实上，不仅向量，函数也可以做类似的操作，只不过是在泛函空间下实现的，在分布参数系统中会用到。
频率响应函数
线性叠加告诉我们一种处理线性动力系统的方法。但是，针对不同的载荷，每个模式在响应中的贡献大小是如何确定的呢？
模态分析是一种基于谱的分析方法，频域自然是其中非常重要的信息。频率响应函数或传递函数就是用来描述频域下输入和输出关系的。
想象一个线性系统
当给一个频率为w1的单位正弦信号输入，稳态输出幅值记为A1；给一系列的wi，输出一系列的幅值Ai；将横轴记为输入频率，纵轴记为输出幅值，构成了一个输入输出的曲线，这个曲线就是频率响应函数；频率响应函数描述的是系统输入和输出之间的关系；通常对于线性系统，输入和输出的频率是一致的。
图中凸起的部分代表了振动幅度大，对应的频率就是通常说的“共振点”。
一般来说，按照上述处理比较麻烦；事实上，将输入和输出分别做傅氏（拉氏）变换，再两者相除，即可得到频率响应函数；对于随机信号，也可以通过功率谱密度相除等方式得到。
有了这个频率响应函数后，不同激励条件下系统的响应就容易计算得到了。频率响应函数相当于告诉了我们，对于不同的激励，系统会如何响应，以及响应中每部分的贡献大小如何。
需要说明的是，一个频率响应函数描述的是一个输入点到一个输出点的关系，对于一个多自由度系统，可以通过一个频率响应函数矩阵描述。
最后
模态分析的相关数学内容先介绍这么多，下一篇文章中将会对模态分析进行详细讨论。
蒙特遇见卡罗：结构动力学中的模态分析(2) —— 实模态分析zhuanlan.zhihu.com
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