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关于隐语义模型，其中之一就是本专栏第（2）节讲过的 -- SVD矩阵分解及其正则化 。LFM 模型通过如下公式计算用户 u 对物品 i 的兴趣：
其中P 和 Q 的解释同第（2）节，不再累述。但可以解释一下隐类 K：
假如用户喜欢看电影，但是兴趣比较广泛。如果采用协同过滤的算法，那么很难满足用户广泛的兴趣及其比重。假如用户80%的时间喜欢看科幻电影，20% 的时间喜欢看动画片。那么协同过滤无法考虑到这种兴趣的比重并合理推荐。我们就将 K 设定为2，定义两个隐类，将用户与隐类的联系设成矩阵 P；同理，将隐类与物品的联系设成矩阵 Q，形成了隐语义模型 LFM。
如何通过隐反馈数据获得 SVD 的 UI 矩阵？
在 SVD 中，UI 矩阵的行代表用户U，列代表物品I，其中的数字代表用户 U 对 I 的评分。但是在隐反馈数据中，只有正样本，没有负样本，要得到 UI 矩阵，必须要有负样本。因此要进行负样本采样，采样原则如下：
（1）对每个用户，从他没有行为的物品中采样一些物品作为负样本。
（2）要保证正负样本的数量相当。
（3）对每个用户采样负样本时，选择那些很热门，用户却没有行为的物品比冷门用户没有行为的物品更佳。
负样本采样代码如下：
def RandomSelectNegativeSample(items):ret = dict()for i in items.keys():ret[i] = 1 #已有的物品为 1 代表正样本n = 0 for i in xrange(len(items) * 3):#items_pool 维护了一个候选物品表，在这个列表中#物品 i 出现的次数和物品 i 的流行度成正比item = items_pool[random.randint(0,len(items_pool) - 1)]if item in ret:continueret[item] = 0 #负样本n += 1if n > len(items):break #保证正负平衡return ret
梯度下降求解 SVD
直接引入第（2）节的结果，加入了正则化的 SVD 矩阵的梯度下降公式为：
将其中的2
下面的代码实现了这一梯度下降过程：
def LatenFactorModel(user_items, K, N, alpha, lambda):[P,Q] = InitModel(user_items,K) #生成 K 个隐类的 P,Q 矩阵for step in range(0,N):for user,items in user_items.items():samples = RandomSelectNegativeSample(items)for item,rui in samples.items():eui = rui - Predict(user,item) #Predict 根据 P,Q 矩阵计算 ^ruifor k in range(0,K):P[user][k] += alpha * (eui * Q[k][item] - lambda * P[user][k])Q[k][item] += alpha * (eui * P[user][k] - lambda * Q[k][item])alpha *= 0.9 #学习率衰减得到 P， Q 矩阵后生成推荐
通过梯度下降算法获得 P， Q 矩阵后，我们就可以根据矩阵生成推荐，代码如下：
def Recommend(user, P, Q):rank = dict()for u,puk in P[user].items():for i,qki in Q[u].items():if i not in rank:rank[i] = puk * qki #矩阵乘法return rank