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一.n元多项式环(7.9)
1.$n$元多项式的概念
(1)$n$元多项式的概念:

(2)相关概念:

2.$n$元多项式的运算
(1)$n$元多项式的加/乘法运算与$n$元多项式环:

(2)齐次多项式:

域$F$上所有$n$元$m$次齐次多项式构成的集合是1个线性空间

(3)运算与次数的关系:

定理1:在$K[x_1,x_2...x_n]$中,2个非0多项式的乘积的首项等于它们的首项的乘积,从而2个非0多项式的乘积仍是非0多项式,即$K[x_1,x_2...x_n]$是无零因子环

定理2:在$K[x_1,x_2...x_n]$中$$\mathrm{deg}fg=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g(7)$$

3.$n$元多项式的通用性质:

定理3:设$K$是1个数域,$R$是1个有单位元的交换环,并且$R$可以看成$K$的1个扩环(即$R$有1个子环$R_1$与$K$同构,且$R$的单位元是$R_1$的单位元),将$K$到$R_1$的同构映射记作$\tau$.设$t_1,t_2...t_n$是$R$的元素,令$$\begin{gathered} {\sigma }_{t_1,t_2...t_n}:K[x_1,x_2...x_n]\to R \\ f(x_1,x_2...x_n)=\sum _{i_1,i_2...i_n}{a}_{i_1,i_2...i_n}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}...x_n^{i_n}\mapsto \sum _{i_1,i_2...i_n}\tau (a_{i_1,i_2...i_n})t_1^{i_1}{t}_2^{i_2}...t_n^{i_n} \end{gathered}$$则${\sigma }_{t_1,t_2...t_n}$是$K[x_1,x_2...x_n]$到$R$的1个映射,它使得${\sigma }_{t_1,t_2...t_n}(x_i)=t_i(i=1,2...n)$.把$f(x_1,x_2...x_n)$在此映射下的象记作$f(t_1,t_2...t_n)$.如果$$\begin{gathered} f(x_1,x_2...x_n)+g(x_1,x_2...x_n)=h(x_1,x_2...x_n) \\ f(x_1,x_2...x_n)g(x_1,x_2...x_n)=p(x_1,x_2...x_n) \end{gathered}$$那么$$\begin{gathered} f(t_1,t_2...t_n)+g(t_1,t_2...t_n)=h(t_1,t_2...t_n) \\ f(t_1,t_2...t_n)g(t_1,t_2...t_n)=p(t_1,t_2...t_n) \end{gathered}$$即映射${\sigma }_{t_1,t_2...t_n}$保持加法和乘法运算,称为**$x_1,x_2...x_n$用$t_1,t_2...t_n$带入**

4.$n$元多项式函数
(1)概念:

(2)非零多项式诱导的函数:

定理4:设$h(x_1,x_2...x_n)$是数域$K$上的$n$元非零多项式,则其诱导的$n$元多项式函数$h$不是零函数

(3)多项式相等的充要条件:

定理5:设$K$是数域,在$K[x_1,x_2...x_n]$中,2个$n$元多项式$f(x_1,x_2...x_n),g(x_1,x_2...x_n)$相等当且仅当它们诱导的多项式函数$f,g$相等

(4)数域上的$n$元多项式函数环:

(5)代数簇:

5.数域$K$上$n$元多项式环的结构
(1)相关概念:

(2)$n$元多项式不可约的判定:

命题1:在$K[x_1,x_2...x_n]$中,次数大于0的多项式$p(x_1,x_2...x_n)$不可约当且仅当其不能分解成2个次数较低的多项式的乘积

(3)$n$元多项式环中的唯一因式分解定理:

定理6(唯一因式分解定理):$K[x_1,x_2...x_n]$中每个次数大于0的多项式$f(x_1,x_2...x_n)$都能唯一地分解成数域$K$上有限个不可约多项式的乘积

(4)$n$元多项式的标准分解式:

二.n元对称多项式(7.10)

1.$n$元对称多项式
(1)定义:

(2)性质:

(3)$n$元初等对称多项式:

2.数域$K$上$n$元对称多项式组成的集合$W$的结构
(1)$W$是$n$元多项式环的子环:

命题2:$W$是$K[x_1,x_2...x_n]$的1个子环

命题3:设$f_1,f_2...f_n\in W$,则对$\forall g(x_1,x_2...x_n)=\sum _{i_1,i_2...i_n}{b}_{i_1{i}_2...i_n}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}...x_n^{i_n}\in K[x_1,x_2...x_n]$,有$$g(f_1,f_2...f_n)=\sum _{i_1,i_2...i_n}{b}_{i_1{i}_2...i_n}{f}_1^{i_1}{f}_2^{i_2}...f_n^{i_n}\in W$$即对称多项式的多项式仍是对称多项式.特别地,有$$g({\sigma }_1,{\sigma }_2...{\sigma }_n)\in W$$即初等对称多项式${\sigma }_1,{\sigma }_2...{\sigma }_n$的多项式仍是对称多项式

(2)对称多项式基本定理:

定理7(对称多项式基本定理):对数域$K$上任一$n$元对称多项式$f(x_1,x_2...x_n)$,都存在$K$上唯一一个$n$元多项式$g(x_1,x_2...x_n)$,使得$$f(x_1,x_2...x_n)=g({\sigma }_1,{\sigma }_2...{\sigma }_n)$$即$K$上任一$n$元对称多项式都可表示成初等对称多项式${\sigma }_1,{\sigma }_2...{\sigma }_n$的多项式

3.数域$K$上一元多项式的判别式
(1)判别式的概念:

命题4:数域$K$上首项系数为1的一元多项式$$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$$在复数域中有重根的充要条件是$$g(-a_{n-1},a_{n-2}...(-1{)}^n{a}_0)=0$$

(2)求判别式:

(3)通过初等对称多项式表示幂和:

牛顿公式:在$K[x_1,x_2...x_n]$中,当$1\le k\le n$时,有$$s_k-{\sigma }_1{s}_{k-1}+{\sigma }_2{s}_{k-2}+...+(-1{)}^{k-1}{\sigma }_{k-1}{s}_1+(-1{)}^{k}k{\sigma }_k=0$$当$k>n$时,有$$s_k-{\sigma }_1{s}_{k-1}+{\sigma }_2{s}_{k-2}+...+(-1{)}^{n-1}{\sigma }_{n-1}{s}_{k-n+1}+(-1{)}^n{\sigma }_n{s}_{k-n}=0$$