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通过前两次的内容(如何理解二次型的定义)，我们知道学习二次型的最佳办法是将其理解为一个二次方程，并研究如何将所有的二次方程图像进行分类。在上一讲中(如何理解二次型的线性替换)，我们已经知道了研究二次型的最主要的工具：非退化的线性替换。说白了，就是换一下坐标系而已。
那到底该如何选择坐标系，才能确定二次方程的大致的图像呢（注意这里是大致的图像！！！)？ 带着这个问题，下面为大家简单介绍一下实二次型的标准型和惯性定理。先来看看剧情介绍吧：
- 为什么需要标准形
- 标准方程在直角坐标系下的图像
- 标准方程在一般坐标系下的图像
- 惯性定理的几何解释
- 从线性变换的角度理解惯性定理
为什么需要标准型？
我们就简单将一个只含有平方项的二次型称为标准形吧，别忘记了
- 系统研究二次型的最初的目的就是考虑二次方程的图像分类。而线性替换的实质是：方程图像不变，改变的仅仅是坐标系和图像的表达式。
- 任何一个二次型都能经过坐标系的选择（非退化的线性替换）化为标准形。
记住了这两点，为什么需要标准型的问题就很简单了：
- 首先，一个标准的二次方程的图像是容易知道的；
- 其次，利用非退化的线性替换可以将一个未知图像的放到一个坐标系（线性替换矩阵）中，使得图像的方程变成标准形；
- 最后，利用这个方程的标准形的图像便可以得到了原方程的图像。
如下图所示：
可是，如何确定一个标准方程在非直角坐标系下的图像呢？例如
标准的二次方程在直角坐标系下的图像
如果坐标系是一个直角坐标系，相信大家都知道标准方程的图像:
标准的二次方程在一般坐标系下的图像
如果非退化的线性替换选取的不是一个直角坐标系，这时候如何知道一个标准二次方程得图像呢?
- 对于一个实二次型来说，总是可以找到一个直角坐标系使得方程变为一个标准方程的。因为一个实对称矩阵总是可以被正交对角化，这就是所谓的二次型的正交替换法（敬请期待后期推送）。
- 哪怕不是直角坐标系，这个坐标系中的标准方程也是简单的。
例如：下面为
下面为
如果把圆理解为长轴=短轴的椭圆，球面理解为特殊的椭球面。实际上
- 椭圆的方程在任何
坐标系下均为
其中
- 椭球面的方程在任何
坐标系下均为
其中
- 其它标准形的情况与直角坐标系下是类似的
如果仅仅为了解一个二次方程的大致图像（注意是大致图像哦），每一个坐标系下的标准形都是可以做到的。那么，如何确定一个方程的精确图像呢？例如求椭圆的长短轴的大小，某一个球面的体积。例如： 已知椭圆曲线方程
如何求这个椭圆的长轴与短轴呢?这就需要特殊的线性替换（二次型的正交替换了）。敬请期待后期推送
从几何角度理解惯性定理
二次型的惯性定理归功于Sylvester，起源于力学。可以表述为： 有限的实二次型的规范形是唯一的。 也就是说，不论选取怎样的坐标变换使它化为仅含平方项的标准形，其正、负惯性指数与所选取的坐标变换无关。 注：二次型的标准形不是唯一的，它与所选的坐标变换有关，惯性定理告诉我们二次型的正负惯性指数是唯一不变的，它反映了二次型的本质特征。
例如，我们取了平面上一个中心在原点的一个椭圆
从而这个椭圆的规范形为
注意二次型的标准形不是唯一的，它与所选的坐标变换有关。由之前介绍的标准二次方程在一般坐标系下的图像可知，不论选取哪一个
也就说，一个椭圆的规范形是唯一的。
从线性变换角度理解惯性定理
因为坐标系的替换也可以理解为一个线性变换。因此，每一个线性替换可以理解为将原来的二次曲线，通过线性替换矩阵所对应的线性变换，变为了一个新的二次曲线。下图为一个椭圆经过不同的线性变换后的图像：
下图为一个双曲线经过不同的线性变换后的图像：
惯性定理，可以理解为任何一个椭圆/椭球/双曲线….在经过一个可逆的线性变换之后依然是一个椭圆/椭球/双曲线…。