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题目如下

给定一个只包含整数的有序数组 nums ，每个元素都会出现两次，唯有一个数只会出现一次，请找出这个唯一的数字。

示例 1:
输入: nums = [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
输出: 2

示例 2:
输入: nums = [3,3,7,7,10,11,11]
输出: 10

解题方法1

思路和算法

假设只出现一次的元素位于下标 x，由于其余每个元素都出现两次，因此下标 x 的左边和右边都有偶数个元素，数组的长度是奇数。

由于数组是有序的，因此数组中相同的元素一定相邻。对于下标 x 左边的下标 y，如果nums[y]=nums[y+1]，则 y 一定是偶数；对于下标 x 右边的下标 z，如果nums[z]=nums[z+1]，则 z 一定是奇数。由于下标 x 是相同元素的开始下标的奇偶性的分界，因此可以使用二分查找的方法寻找下标 x。

初始时，二分查找的左边界是 0，右边界是数组的最大下标。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标，根据 mid 的奇偶性决定和左边或右边的相邻元素比较：

如果 mid 是偶数，则比较 nums[mid] 和 nums[mid+1] 是否相等；

如果 mid 是奇数，则比较 nums[mid−1] 和 nums[mid] 是否相等。

如果上述比较相邻元素的结果是相等，则 mid<x，调整左边界，否则 mid≥x，调整右边界。调整边界之后继续二分查找，直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后，nums[x] 即为只出现一次的元素。

细节
利用按位异或的性质，可以得到 mid 和相邻的数之间的如下关系，其中 ⊕ 是按位异或运算符：

当 mid 是偶数时，mid+1=mid⊕1；

当 mid 是奇数时，mid−1=mid⊕1。

因此在二分查找的过程中，不需要判断 mid 的奇偶性，mid 和 mid⊕1 即为每次需要比较元素的两个下标。

class Solution
{
public:int singleNonDuplicate(vector<int>& nums){int low = 0, high = nums.size() - 1;while (low < high) {int mid = (high - low) / 2 + low;if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]){low = mid + 1;}else{high = mid;}}return nums[low];}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)，其中 nn 是数组 nums 的长度。需要在全数组范围内二分查找，二分查找的时间复杂度是 O(logn)。

空间复杂度：O(1)。

解题方法2

偶数下标的二分查找

细节
考虑 mid 和 1 按位与运算的结果，其中 & 是按位与运算符：

当 mid 是偶数时，mid & 1=0；

当 mid 是奇数时，mid & 1=1。

因此在得到 mid 的值之后，将 mid 的值减去 mid & 1，即可确保 mid 是偶数，如果原来的 mid 是偶数则值不变，如果原来的 mid 是奇数则值减 1。

class Solution 
{
public:int singleNonDuplicate(vector<int>& nums){int low = 0, high = nums.size() - 1;while (low < high) {int mid = (high - low) / 2 + low;mid -= mid & 1;if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {low = mid + 2;}else {high = mid;}}return nums[low];}
};

复杂度分析

时间复杂度：O(logn)，其中 n 是数组 nums 的长度。需要在偶数下标范围内二分查找，二分查找的时间复杂度是 O(logn)。

空间复杂度：O(1)。