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降落伞数学模型

* 降落伞问题 跳伞中的安全性至关重要，研究飞行和着陆的数学模型对此大有帮助。 本节将对跳伞中的一些问题进行描述、分析并建模。这些模型采用简化数据仅用于说明问题。 * 研究性课题 假设跳伞员体重是 103 kg，飞机飞行高度为 4000 m(z轴方向)，飞行速度为 115 m/s(y轴方向)，跳伞员从飞机一侧离开飞机，初始速度为 0.555 m/s(x轴方向)。 问题：研究跳伞员着陆时是否会对身体造成伤害？ 对骨骼的冲击是否会导致骨折？ 速度急剧下降产生的头部剪应变是否会导致脑震荡？ * 背景 跳伞示意图 * 问题分析 跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有11.5秒是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。 打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴正向上大小为1.2m/s的横向风(顺风跳伞)的影响。 此后，由于必须考虑空气阻力，下降变成了沿各个轴加速度非恒定的三维抛射运动。 * 模型假设 不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着陆方式。 跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩无需考虑。 跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。 尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此我们忽略这些影响，只考虑骨头损伤。 冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。 假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。 数据是准确的(尽管实际上只是近似值)。 * 降落时间和路径：自由落体阶段 打开降落伞时的高度Z轴 X轴向位置(加速度为0) * 降落时间和路径：自由落体阶段 打开降落伞时的高度Z轴 X轴向位置(加速度为0)(11.5*0.555) Y轴向位置(加速度为0)(11.5*115) 位置：X=6.3825 Y=1322.5 Z=3352.0 * 降落时间和路径：自由落体阶段 此时的速度 X, Y轴速度不变 Z轴速度为 * 降落时间和路径：自由落体阶段 此时的速度 X, Y轴速度不变 Z轴速度为 * 阶段二：降落伞打开到速度恒定阶段 运动状态复杂，只能简化处理 假定降落伞瞬时打开 跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度(最终速度) 实验基础上假定这个时间段为 3 秒(测定) 在此期间下降 54 米(测定) * 阶段三：打开降落伞后 受力情况 垂直方向空气阻力 D = dv2 (d = 20) Y轴方向空气阻力 F = -bv (b = 10) X轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小为 * 阶段三：打开降落伞后 最终速度： 此时加速度为0 垂直方向空气阻力 D = dv2 = mg (d = 20) 故 v2 = mg/d，v = 7.1042 m/s 即跳伞员以此速度下降 3352 – 54 = 3298 m，所需时间为 464.2 s 总时间为 11.5 + 3 + 464.2 = 478.7 s * 确定着陆坐标 牛顿第二定律 F = ma X轴 * 确定着陆坐标 牛顿第二定律 F = ma Y轴 * 方程求解 将 t = 467.2 代入可得 x = 560.4, y = 2507, z = 0 * 着陆速度 * 着陆速度 碰撞时速度的大小为 动量(p = mv)改变量为 冲击力(时间200毫秒) * 结论 骨头 极限抗拉强度 平均横截面积 最大承受力 股骨 1.21?10^8 5.81?10^(- 4) 70301 胫骨 1.41?10^8 3.23?10^(- 4) 45220 脊髓(背部) 2.20?10^8 4.42?10^(- 4) 97240 脊髓(颈部) 1.80?10^8 4.42?10^(- 4) 79560 剪应力对头部产生的伤害，用人体受冲击的剧烈程度指数来度量(小于400安全)，定义如下： * 进一步思考 降落伞空投大型物体 (第一届XX建模竞赛)？ 降落伞怎样设计？ 根据模型推出空降兵最小的空降高度？