360网站排名怎么做搜索引擎网站优化推广

如何分析一个“排序算法”？

排序算法的执行效率

1. 最好情况、最坏情况、平均情况时间复杂度
   分别给出最好情况、最坏情况、平均情况下的时间复杂度以及最好、最坏时间复杂度对应的要排序的原始数据是什么样的。
2. 时间复杂度的系数、常数 、低阶
3. 比较次数和交换（或移动）次数

排序算法的内存消耗

原地排序算法，就是特指空间复杂度是 O(1) 的排序算法

排序算法的稳定性

如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变。

稳定排序算法可以保持金额相同的两个对象，在排序之后的前后顺序不变。

冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序只会操作相邻的两个数据：

每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进行比较，看是否满足大小关系要求。如果不满足就让它俩互换。一次冒泡会让至少一个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序工作。

实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。

实际上，刚讲的冒泡过程还可以优化。当某次冒泡操作已经没有数据交换时，说明已经达到完全有序，不用再继续执行后续的冒泡操作。

冒泡排序简单代码：

void bubbleSort(vector<int> &vec, int n){if(n < 2) return;for(int i = 0; i < n; ++i){bool tag = 0;for(int j = 0; j < n-i-1; ++j){if(a[j] > a[j+1]){ //交换int tmp = a[j];a[j] = a[j+1];a[j+1] = tmp;tag = 1; // 表示有数据交换}}if(!tag) break;}
}

• 第一，冒泡排序是原地排序算法吗？
  冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是一个原地排序算法。

• 第二，冒泡排序是稳定的排序算法吗？
  冒泡排序中，只有交换才可以改变两个元素的前后顺序。为了保证冒泡排序算法的稳定性，当有相邻的两个元素大小相等的时候，不做交换，相同大小的数据在排序前后不会改变顺序，所以冒泡排序是稳定的排序算法。

• 第三，冒泡排序的时间复杂度是多少？
  

那平均情况下的时间复杂是多少呢？

通过“有序度”和“逆序度”这两个概念来进行分析:

有序度是数组中具有有序关系的元素对的个数。有序元素对用数学表达式表示就是这样：

有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j。

同理，对于一个倒序排列的数组，比如 6，5，4，3，2，1，有序度是 0；对于一个完全有序的数组，比如 1，2，3，4，5，6，有序度就是 n*(n-1)/2，也就是 15。我们把这种完全有序的数组的有序度叫作满有序度。

逆序度的定义正好跟有序度相反（默认从小到大为有序）:

逆序元素对：a[i] > a[j], 如果i < j。

关于这三个概念，我们还可以得到一个公式：

$$逆序度=满有序度-有序度$$

排序的过程就是一种增加有序度，减少逆序度的过程，最后达到满有序度，就说明排序完成了。

冒泡排序包含两个操作原子，比较和交换：

每交换一次，有序度就加 1。不管算法怎么改进，交换次数总是确定的，即为逆序度(注意是交换次数)，也就是$n\ast (n-1)/2$ – 初始有序度。此例中就是 15–3=12，要进行 12 次交换操作。

对于包含 n 个数据的数组进行冒泡排序，平均交换次数是多少呢？

• 最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进行 $n\ast (n-1)/2$次交换。
• 最好情况下，初始状态的有序度是 $n\ast (n-1)/2$，就不需要进行交换。
• 我们可以取个中间值 $n\ast (n-1)/4$，来表示初始有序度既不是很高也不是很低的平均情况。

换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，比较操作肯定要比交换操作多，而复杂度的上限是 O(n^2)，所以平均情况下的时间复杂度就是 O(n^2)。

插入排序（Insertion Sort）

一个有序的数组，往里面添加一个新的数据后，如何继续保持数据有序呢？很简单，只要遍历数组，找到数据应该插入的位置将其插入即可。

这是一个动态排序的过程，即动态地往有序集合中添加数据，我们可以通过这种方法保持集合中的数据一直有序。而对于一组静态数据，也可以借鉴上面讲的插入方法，来进行排序，于是就有了插入排序算法：

首先，将数组中的数据分为两个区间，已排序区间和未排序区间。初始已排序区间只有一个元素，就是数组的第一个元素。插入算法的核心思想是取未排序区间中的元素，在已排序区间中找到合适的插入位置将其插入，并保证已排序区间数据一直有序。重复这个过程，直到未排序区间中元素为空，算法结束:

插入排序也包含两种操作，一种是元素的比较，一种是元素的移动。当需要将一个数据 a 插入到已排序区间时，需要拿 a 与已排序区间的元素依次比较大小，找到合适的插入位置。找到插入点之后，还需要将插入点之后的元素顺序往后移动一位，这样才能腾出位置给元素 a 插入。

对于不同的查找插入点方法（从头到尾、从尾到头），元素的比较次数是有区别的。但对于一个给定的初始序列，移动操作的次数总是固定的，就等于逆序度。

为什么说移动次数就等于逆序度呢？拿刚才的例子画了一个图表，你一看就明白了。满有序度是 n*(n-1)/2=15，初始序列的有序度是 5，所以逆序度是 10。插入排序中，数据移动的个数总和也等于 10=3+3+4。

简单代码：

void insertionSort(vector<int> &vec, int n){if(n < 2) return;for(int i = 1; i < n; ++i){int value = a[i];int j = i-1;// 查找要插入的位置for(; j　>= 0; --j){if(a[j] > value)a[j+1] = a[j]; //数据移动elsebreak;}a[j+1] = value;　//插入数据}
}

• 第一，插入排序是原地排序算法吗？
  从实现过程可以很明显地看出，插入排序算法的运行并不需要额外的存储空间，所以空间复杂度是 O(1)，也就是说，这是一个原地排序算法。

• 第二，插入排序是稳定的排序算法吗？
  对于值相同的元素，我们可以选择将后面出现的元素，插入到前面出现元素的后面，这样就可以保持原有的前后顺序不变，所以插入排序是稳定的排序算法。

• 插入排序的时间复杂度是多少？
  如果要排序的数据已经是有序的，并不需要搬移任何数据。如果我们从尾到头在有序数据组里面查找插入位置，每次只需要比较一个数据就能确定插入的位置。所以这种情况下，最好是时间复杂度为 O(n)。
  如果数组是倒序的，每次插入都相当于在数组的第一个位置插入新的数据，所以需要移动大量的数据，所以最坏情况时间复杂度为 O(n^2)。
  还记得我们在数组中插入一个数据的平均时间复杂度是多少吗？没错，是 O(n)。所以，对于插入排序来说，每次插入操作都相当于在数组中插入一个数据，循环执行 n 次插入操作，所以平均时间复杂度为 O(n^2)。

选择排序（Selection Sort）

选择排序算法的实现思路有点类似插入排序，也分已排序区间和未排序区间。但是选择排序每次会从未排序区间中找到最小的元素，将其放到已排序区间的末尾。

• 第一，选择排序是原地排序算法吗？
  选择排序空间复杂度为 O(1)，是一种原地排序算法。选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 O(n^2)。

• 第二，选择排序是稳定的排序算法吗？
  答案是否定的，选择排序是一种不稳定的排序算法。从前面的图中，可以看出，选择排序每次都要找剩余未排序元素中的最小值，并和前面的元素交换位置，这样破坏了稳定性。
  比如 5，8，5，2，9 这样一组数据，使用选择排序算法来排序的话，第一次找到最小元素 2，与第一个 5 交换位置，那第一个 5 和中间的 5 顺序就变了，所以就不稳定了。正是因此，相对于冒泡排序和插入排序，选择排序就稍微逊色了。

• 插入排序的时间复杂度是多少？
  选择排序的最好情况时间复杂度、最坏情况和平均情况时间复杂度都为 O(n^2)。

解答开篇

冒泡排序和插入排序的时间复杂度都是 O(n2)，都是原地排序算法，为什么插入排序要比冒泡排序更受欢迎呢？

冒泡排序不管怎么优化，元素交换的次数是一个固定值，是原始数据的逆序度

插入排序是不管怎么优化，元素移动的次数也等于原始数据的逆序度

但是，从代码实现上来看，冒泡排序的数据交换要比插入排序的数据移动要复杂，冒泡排序需要 3 个赋值操作，而插入排序只需要 1 个。我们来看这段操作：

冒泡排序中数据的交换操作：
if (a[j] > a[j+1]) { // 交换int tmp = a[j];a[j] = a[j+1];a[j+1] = tmp;flag = true;
}插入排序中数据的移动操作：
if (a[j] > value) {a[j+1] = a[j];  // 数据移动
} else {break;
}

把执行一个赋值语句的时间粗略地计为单位时间（unit_time）:

分别用冒泡排序和插入排序对同一个逆序度是 K 的数组进行排序。用冒泡排序，需要 K 次交换操作，每次需要 3 个赋值语句，所以交换操作总耗时就是 3*K 单位时间。而插入排序中数据移动操作只需要 K 个单位时间。

如果希望把性能优化做到极致，那肯定首选插入排序。

课后思考

特定算法是依赖特定的数据结构的。我们今天讲的几种排序算法，都是基于数组实现的。如果数据存储在链表中，这三种排序算法还能工作吗？如果能，那相应的时间、空间复杂度又是多少呢？

LeetCode第 147 题：对链表进行插入排序(C++)_qq_32523711的博客-CSDN博客

别人的答案：

对于老师所提课后题，觉得应该有个前提，是否允许修改链表的节点value值，还是只能改变节点的位置。
一般而言，考虑只能改变节点位置，冒泡排序相比于数组实现，比较次数一致，但交换时操作更复杂；插入排序，比较次数一致，不需要再有后移操作，找到位置后可以直接插入，但排序完毕后可能需要倒置链表；选择排序比较次数一致，交换操作同样比较麻烦。综上，时间复杂度和空间复杂度并无明显变化，若追求极致性能，冒泡排序的时间复杂度系数会变大，插入排序系数会减小，选择排序无明显变化。