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leetcode96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:1         3     3      2      1/     /      /       3     2     1      1   3      2/     /                        2     1         2                 3

方法：动态规划

思路：

本题看似困难，实际上很简单，可以说跟树结构都没有关系。

我们首先回顾二叉搜索树的定义，二叉搜索树的根节点左边结点比它小，右边结点比它大，且左右结点构成的子树也是二叉搜索树。

如果给了n个结点，那么我们的的根节点可以是n个结点的任意一个，假设为i，那么左结点就只能为[1,i-1]中的某一个了，右结点就位[i,n]中的某一个。由于左右结点也是二叉搜索树，那么如果此时根节点为i，左边可能出现的子树个数即为n=i-1时的答案，右边可能出现子树的个数即为n = n-i时的答案。左右两边的答案相乘，即为i为根节点状况下的二叉搜索树个数；遍历所有的i，都相加，即为n个结点的二叉搜索树总个数。

我们假设dp[i]为1...i为节点组成的二叉搜索树的种数。

那么，对于dp[n]来说，状态转移方程为：

现在考虑边界条件，对于上面的方程，当j=0或j=n-1时，相当于左边/右边子节点为空，此时我们只需考虑另一边的种类数，因此我们将dp[0]=1。

最后的答案为dp[n]。

代码：

class Solution:def numTrees(self, n: int) -> int:dp = [0 for _ in range(n+1)]dp[0] = 1for i in range(1,n+1):for j in range(i):dp[i] += dp[j]*dp[i-1-j]return dp[n]

结果：