一．背景呈现

近几年中考命题中，由一些古老的数学问题改编的试题屡见不鲜，如将军饮马，胡不归，阿氏圆，费马问题等。这些题型如果在平时没有进行过练习，要想在考试有限的时间内完成，基本上是不可能的，这就要求我们对这些问题进行研究，对一些思路或基本结论相同的数学问题进行模型提炼，不断总结归纳，使相互联系的数学知识系统化，模块化，在模型识别，一题多变的过程中，提升我们的思维活跃度。

二．六大模型

1. 如图，直线l和的异侧两点A，B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2. 如图，直线l和的同侧两点A，B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3. 如图，点P是∠MON内一点，分别在OM，ON上求作点A，B，使△PAB的周长最小。   

4. 如图，点P，Q是∠MON内两点，分别在OM，ON上求作点A，B，使四边形PQAB的周长最小。

5. 如图，点A是∠MON外一点，在ON上求作点P，使PA与点P到OM的距离之和最小。

6. 如图，点A是∠MON内一点，在ON上求作点P，使PA与点P到OM的距离之和最小。  

三.涉及知识

两点之间线段最短，垂线段最短，三角形三边之间关系，轴对称，平移等。

四.解题思路

找对称点，实现折转直。

五.试题解读

1.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．

关键：找对称点。

作法：作点A关于MN的对称点C，由圆对称性知点C在⊙O上，交MN于点Q即为所要寻找的点，当P运动到Q点处，PA+PB取最小值，且最小值等于BC。

原理：两点之间线段最短。

解：连接OC，OB，BC，则△OBC是等腰直角三角形，所以PA+PB=PB+PC==PC=根号2OA=4根号2。

2. 如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=20，E为BC边上的一个动点，P为BD边上的一个动点，求PC+PE的最小值。

关键：找对称点。

作法：作点BC关于BD的对称绝线段BG，过G作GH⊥BC于H，交BD于Q，当P，E分别运动到Q，H时，PC+PE取最小值，且最小值等于GH。

原理：垂线段最短。

解：直角三角形BCD中，得BD=10根号5 ，由BC*CD=BD*CF，得CF=4根号5 ，直角三角形BCF中，BF=8根号5，由CG*BF=BC*GH，GH=16。

六.练习巩固

1.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2,BC=DC=5点P为BC上一个动点，当PA+PD取最小值时，求△APD中AP上的高。

2.如图，一元二次方程x²+2x﹣3＝0的二根x₁，x₂(x₁＜x₂)是抛物线y＝ax²+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A(3，6)．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

(3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

全国各地的中考经常会出现将军饮马的试题，如无锡14年，安徽19年，内江20年，河南20年等，有需求的同学可以寻找练习。对本专题有兴趣的可点关注并转发，加我微信好友索要文档资料。

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