手机公司网站建设360搜索引擎下载

1. 从双线性映射谈起：

什么是“二次型”？我们就要从双线性映射（bilinear map）谈起，了解张量的同学一定对bilinear map不陌生。

可以先来看看我的这篇文章：

Allan：曲面第一基本式：长度、角度和面积​zhuanlan.zhihu.com

我们使用曲面的第一基本式来求解非正交坐标系内向量的长度（或者说二范数，whatever）：

设坐标系的两个基为

则：

我们把

而且B是对称矩阵。对称型矩阵有一个特点就是：

证明：

所以：

下面基于实对称矩阵给出二次型的定义。

2. 二次型定义

设

3. 二次型的特性

3.1：对于

（证明从略）

3.2：向量空间

其中，

。

证明：

我们不妨在V中选一个正交坐标系

其中

目前已知：

令

则：

当

故：

所以

所以，可证当

：

下面，证明

所以

3.3：

证明如下：

已知

可知

4. 本文结论：

• 对称矩阵有非常好的特性，按特征值分解可分解为一个正交矩阵和对角阵的乘积。
• 由对称矩阵构成的二次型的最大值和最小值分别是其最大特征值和最小特征值。
• 由对称矩阵构成的二次型满足公式：