矩母函数与特征函数

$$矩母函数与特征函数与分布函数一一对应$$
矩母函数

$$\begin{gathered} {\psi }_X(t)=E(e^{tX}) \\ 性质：{\psi }_X(t{)}^{\prime }=E(X{e}^{tX}),当t=0,则为一阶矩（n次导数对应n阶矩） \end{gathered}$$
特征函数
$${\phi }_X(t)=E(e^{itX})$$

泊松分布的矩母函数与特征函数

$$\begin{gathered} {\psi }_X(t)=E(e^{tX})=e^{\lambda (e^t-1)} \\ {\phi }_X(t)=E(e^{itX})=e^{\lambda (e^{(it)}-1)} \end{gathered}$$