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随机梯度下降

Batch Gradient Descent(BGD)

BGD在训练中,每一步迭代都是用训练集中的所有数据,也就是说,利用现有参数对训练集中的每一个输入生成一个估计输出,然后跟实际输出比较,统计所有误差,求平均以后得到平均误差,并以此作为更新参数的依据.

• 优点: 由于每一步都利用了训练集中的所有数据,因此当损失函数达到最小值以后,能够保证此时计算出的梯度为0,换句话说,就是能够收敛(曲线比较平滑),因此,使用BGD时不需要逐渐降低学习率.
• 缺点: 由于每一步都要用到所有训练数据,因此随着数据集的增大,运行速度会越来越慢.

SGD与MBGD

MBGD是指在训练中,每次使用小批量(一个小批量训练m个样本)的随机采样进行梯度下降.训练方法与BGD一样,只是BGD最后对训练集的所有样本取平均,而MBGD只对小批量的m个样本取平均.SGD是指在训练中每次仅使用一个样本.MBGD与SGD统称为SGD.因为小批量不能代表整个训练集,使得梯度估计引入噪声源,因此SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向.虽然SGD包含一定的随机性(表现为损失函数的震荡),但是从期望来看,它是等于正确的导数的(表现为损失函数有减小的趋势).

• 优点: 训练速度比较快
• 缺点: 在样本数量较大的情况下,可能只用到了其中一部分数据就完成了训练,得到的只是局部最优解.另外,小批量样本的噪声较大,所以每次执行梯度下降,并不一定总是朝着最优的方向前进.

参数更新

其中，

代表学习率，

表示

时刻的参数，

代表参数

在

时刻的导数，

代表参数的更新速度。

Momentum

在训练中，采取的策略与SGD一样，不同的是学习率的更新方式。动量的参数更新方式为：

一般取值0.9.

直观理解为：

动量方法旨在加速学习（加快梯度的下降速度），特别是处理高曲率、小但一致的梯度，或是带噪声的梯度。动量算法累积了之前梯度指数级衰减的移动平均，并且继续沿该方向移动。

动量SGD算法引入

使每一次的参数更新方向不仅仅取决于当前位置的梯度，还受到上一次参数更新方向的影响（如上图所示）。在某一维度上，当梯度方向不变时，更新速度变快，当梯度方向有所改变时，更新速度变慢，从而加快收敛速度，减少震荡。

带有动量的SGD的优点：

• 加快收敛速度
• 抑制梯度下降时上下震荡的情况
• 通过局部极小点

分析：假设任意时刻参数的梯度均为

，则使用SGD时,

时刻的梯度

,Momentum算法的梯度

.当

，因

，所以

,所以

,当

时，Momentum更新速度是SGD的10倍

Nesterov(NAG)

Nesterov动量是Momentum的变种，即在计算参数梯度之前，前瞻一步，超前一个动量单位处：

,Nesterov动量可以理解为往Momentum动量中加入了一个校正因子。参数更新公式为：

Momentum动量与Nesterov动量的对比如下图所示，其中

代表A节点 ( theta_t )的梯度，

代表B节点(

的梯度)，灰色实线代表 t-1 时刻的速度

.

注意：图中的

以及

应该为

因为梯度方向是增长速度最快的方向，而图中所示为梯度的反方向，所以应该为

、

.

Nesterov动量相对于Momentum多了一个本次梯度相对上次梯度的变化量，这个变化量本质上是对目标函数二阶导的近似，由于令了二阶导的信息，Nesterov动量算法才会比Momentum具有更快的收敛速度。

AdaGrad

AdaGrad其实是对学习率进行了约束，AdaGrad独立地适应所有模型参数的学习率，缩放每个参数反比于其它所有梯度历史平方值总和的平方根。损失较大偏导的参数相应地拥有一个快速下降的学习率，而较小偏导的参数在学习率上有相对较小的下降。净效果是在参数空间中更为平缓的倾斜方向会取得更大的进步。参数更新公式为：

其中，

是个很小的数，用来保证分母非0。对

从1到

进行一个递推形成一个约束项regularizer——

。

优点：

前期

较小的时候，

较大，梯度更新较大，可以解决SGD中学习率一直不变的问题;后期

较大的时候，

较小，能够约束梯度.适合处理稀疏梯度.

缺点：

由公式可以看出，AdaGrad依赖于人工设置一个全局学习率

，当

设置过大时，使regularizer过于敏感，对梯度的调节太大。在中后期，分母上梯度平方的累加将会越来越大，gradient→0，网络的更新能力会越来越弱，学习率会变的极小，使得训练提前结束。为了解决这样的问题，又提出了Adadelta算法。

Adadelta

Adadelta是对AdaGrad的扩展，AgaGrad会累加所有历史梯度的平方，而Adadelta只累加固定大小的项，并且也不直接存储这些项，仅仅是近似计算对应的平均值。参数更新方式为：

但是，此时Adadelta其实仍然依赖于全局学习率，因此，又做了一些处理，新的参数更新方式为：

新的参数更新方式，不依赖于全局学习率，并且，训练初中期，加速效果不错，很快；训练后期，反复在局部最小值附近抖动。

RMSprop

RMSprop可以算作Adadelta的一个特例：当

时，

就变为了求梯度平方和的平均数。

如果再求根的话，就变成了RMS(均方根)：

。RMSprop的参数更新方式为：

特点：(1)RMSprop依然依赖于全局学习率;(2)RMSprop算是Adagrad的一种发展，和Adadelta的变体，效果趋于二者之间;(3)适合处理非平稳目标 - 对于RNN效果很好

Adam

Adam优化器结合了AdaGrad与RMSProp两种算法的优点。对梯度的一阶距估计

（即梯度的均值）和二阶距估计

（即梯度的未中心化的方差）进行综合考虑，计算出更新步长。更新方式为：

注：所有的

均表示

时刻。

、

分别是梯度的一阶距估计和二阶距估计，可以看做是对期望

、

的估计；

、

是对

、

的校正，这样可以近似为对期望的无偏估计。

优点：

1. 实现简单，计算高效，对内存需求少

2. 参数的更新不受梯度的伸缩变换影响

3. 超参数具有很好的解释性，且通常无需调整或仅需很少的微调

4. 更新的步长能够被限制在大致的范围内（初始学习率）

5. 能自然地实现步长退火过程（自动调整学习率）

6. 很适合应用于大规模的数据及参数的场景

7. 适用于不稳定目标函数

8. 适用于梯度稀疏或梯度存在很大噪声的问题

参考资料：
1. G-kdom：使用动量(Momentum)的SGD、使用Nesterov动量的SGD
2. 郑思座：谈谈优化算法（动量法、Nesterov法、自然梯度法）
3. https://blog.csdn.net/u012759136/article/details/52302426