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朋友圈发了不少关于贝叶斯公式的豪言壮语了，终于也算到了周末，应该简单总结一下了。本文不是专业的数学论文，跟原来一样，主要还是以科普为目的，最终让我们认识到利用贝叶斯公式的思维方式，可以带来什么不同。

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先给出贝叶斯公式的通常写法(即教科书写法)：

$P(A|B)=\cfrac{P(A)\times P(B|A)}{P(B)}$

为了理解它，需要理解很多的概念，最后过了一段时间可能还是记不住…

  然而，如果我们将贝叶斯公式换一个写法，其中代表的含义以及如何使用它就令人恍然大悟了。

曾经的解释

曾经很多人对贝叶斯公式给出的解释是，先根据经验拍一个先验概率，然后再逐步根据实际观测的结果对先验概率进行微调。写法如下所示：

$P(A|B)=P(A)\times\cfrac{P(B|A)}{P(B)}$

其中，可以将$\cfrac{P(B|A)}{P(B)}$设为$u$，这样就成了：

$P(A|B)=P(A)\times u$

如果$u>1$，则增加事件发生的概率，如果$u<1$，则降低相应的概率。

  那么$u$代表什么含义呢？其实$u$就是根据实际信息生成的一个微调杠杆，随着实验次数的增加，它会不断的增强或者否认先验结论$P(A)$。

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值得品味的是，这就是我们人类的思维方式！我们对待任何事物，几乎都是按照这种方式进行的，首先凭直觉对事物有个大概的印象，然后根据后续发生的一系列事件对这个初始印象进行修正，虽然最终我们可能依然是在盲人摸象，但至少是在不断逼近真理。

  以上是贝叶斯公式蕴含的生活哲学。

因果对称解释

我不知道之前有没有这种解释，我是没有看到。这个解释是我在下班的班车上突然想到的，觉得不错，就即时总结下来，写成这篇文章。

  贝叶斯公式的两边同时乘以$P(B)$，得到以下的等式：

$P(A|B)\times P(B)=P(B|A)\times P(A)$

嗯，就是它！

  我先来解释一下$P(A|B)\times P(B)$的含义。

  两个概率相乘，并不总要理解成两个事件同时发生的概率，其实从其字面意义理解更简单。这里先从全概率公式说起。先看下全概率公式：

$P(B)= \sum\limits_{i=1}^nP(B|A_i)P(A_i)$

公式本身很简单，关键是如何来理解它。其实，关键就是如何理解每一个乘积$P(B|A_i)P(A_i)$，它代表什么。我这里给出一个解释：
全概率$P(B)$其实是一个数学期望，它表示事件B发生的概率的期望，假设引起事件B的前因有$i$个，分别是$A_0$到$A_i$，那么事件$B$的发生的概率就成了事件$A_i$的概率组合，它的期望自然而然就是每个原因导致$B$发生的概率，乘以每个原因的概率之和 (这一个解释和信息熵的期望的解释是一样的)。

  请注意，上述解释中，$A_i$是原因，而B是结果。理解了这个全概率公式里关于条件概率乘积的解释，我们就可以理解上述的贝叶斯公式的变形了。

  我们先来看式子的左边$P(A|B)\times P(B)$，其中$P(A|B)$代表假定事件B发生的前提下，事件A发生的概率，乘以$P(B)$表示上述假定确实发生的概率，这里$B$是因，$A$是果。

  再看右边$P(B|A)\times P(A)$，不用再重复上段的解释，最终，$A$是因，$B$是果！然而这二者却是相等的。这意味着什么？！

  这意味着事件的发生关于时间是对称的！如果你相信数学，那么我们的宇宙关于时间的演化就是对称的！没有什么因果区分，如果$A$发生于$B$之前，那么如果时间倒过来的话，$B$显然发生在$A$之前，它们的概率竟然是一样的！

  这很有意思！单凭这个式子，即使是上帝也无法确定时间流逝的方向：

这到底是宿命论，还是因果论的崩塌！

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只是把贝叶斯公式做了一个最简单的移项处理，竟然可以得到这么一个结论，我本来是相信自由意志的，但是这个式子明显表示因果和果因根本就是一一对应的，这是注定的，难道是数学错了？除非概率论本身的根基就是错的，不然这一定是一个真理，就算没有贝叶斯，相信随便一个人也会很快得出相应的结论：

  我们从最基本的开始：
$P(A|B)\times P(B) = P(A\bigcap B)$

$P(B|A)\times P(A) = P(A\bigcap B)$

所以就有：

$P(A|B)\times P(B)=P(B|A)\times P(A)$

这难道不是显然的吗？即便没有贝叶斯，这也是显然的。然而这式子本身并不重要，重要的是这表达了一种全新的解答问题的方式，和本文第一种解释完全契合。

  执果溯因这种方法论意义上的指示不是形而上的，而是物质的，是客观的真理！

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几乎所有人的一生都是不断事件的结果寻找原因的过程，我记得我女儿小小小时候学说话的时候，从来都是不断模仿而不管其什么含义，其它的行为也是不断试错，从周围的人的反馈来获取信息，然后就知道了自己这么做是对还是错，是该加强还是该削减。

  抛开个人不谈，几万年甚至几十万年前的原始野人，在没有任何可供现成学习的经验的前提下，也是靠不断的运用贝叶斯公式来逐渐逼近事物真实的原因的，当原因猜到他们认为八九不离十正确的时候，他们便可以运用这个判断去指导一些自由的行为了，这正是文明最终产生的根本源动力，搞了半天原来就是一个贝叶斯公式！

  也许现在你应该明白为什么AI领域的机器学习中贝叶斯这个名字如此普遍存在了吧，难道原始野人的进化过程不就跟机器学习的过程很类似吗？
…

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下一篇准备简单聊聊对数，其实人脑除了是一个贝叶斯公式的计算器之外，还是一部对数转换器。