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单因素协方差分析（ANCOVA）扩展了单因素方差分析（ANOVA），包含一个或多个定量的协变量。
下面的例子来自于multcomp包中的litter数据集（见Westfall et al.，1999）。怀孕小鼠
被分为四个小组，每个小组接受不同剂量（0、5、50或500）的药物处理。产下幼崽的体重均值为因变量，怀孕时间为协变量
attach(litter)
table(dose)
dose
0 5 50 500
20 19 18 17
aggregate(weight, by = list(dose), FUN = mean)
Group.1 x
1 0 32.30850
2 5 29.30842
3 50 29.86611
4 500 29.64647
fit <- aov(weight ~ gesttime + dose)
summary(fit)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gesttime 1 134.3 134.30 8.049 0.00597 **
dose 3 137.1 45.71 2.739 0.04988 *
Residuals 69 1151.3 16.69
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
结论：(a)怀孕时间与幼崽出生体重相关；(b)控制怀孕时间，药物剂量与出生体重相关。控制怀孕时间，确实发现每种药物剂量下幼崽出生体重均值不同
由于使用了协变量，你可能想要获取调整的组均值——即去除协变量效应后的组均值。可使用effects包中的effects()函数来计算调整的均值：
library(effects)
effect("dose", fit)
dose
0 5 50 500
32.35367 28.87672 30.56614 29.33460
par(mfrow=c(2,2))
plot(fit)
评估检验的假设条件
ANCOVA与ANOVA相同，都需要正态性和同方差性假设，ANCOVA还假定回归斜率相同。
验证因变量满足正态分布
library(car)
qqPlot(lm(weight ~gesttime+dose , data = litter), simulate = TRUE,
main = "QQ Plot", labels = FALSE)
验证变量的同方差
bartlett.test(weight~dose, data = litter)
data: weight by dose
Bartlett's K-squared = 9.6497, df = 3, p-value = 0.02179
检验回归斜率的同质性
library(multcomp)
> fit2 <- aov(weight ~ gesttime * dose)
> summary(fit2)
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gesttime 1 134.3 134.30 8.289 0.00537 **
dose 3 137.1 45.71 2.821 0.04556 *
gesttime:dose 3 81.9 27.29 1.684 0.17889
Residuals 66 1069.4 16.20
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
交互效应不显著，支持了斜率相等的假设。
增强处理结果可视化
library(HH)
ancova(weight ~ gesttime + dose, data = litter)
Analysis of Variance Table
Response: weight
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
gesttime 1 134.30 134.304 8.0493 0.005971 **
dose 3 137.12 45.708 2.7394 0.049883 *
Residuals 69 1151.27 16.685
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1