数组-231-2的幂-简单-20210908

1. 题目描述

给你一个整数 n，请你判断该整数是否是 2 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。

如果存在一个整数 x 使得 n == 2x ，则认为 n 是 2 的幂次方。

示例：

输入：n = 1
输出：true
解释：20 = 1输入：n = 16
输出：true
解释：24 = 16输入：n = 3
输出：false输入：n = 4
输出：true输入：n = 5
输出：false

提示：

• -231 <= n <= 231 - 1

2. 题目解答

2.1 二进制表示n-1

思路：一个数 n 是 2的幂，当且仅当 n 是正整数，并且 n的二进制表示中仅包含 1 个 1

• n & (n - 1)，& 表示按位与运算

• 如果 n是正整数并且n & (n - 1) = 0，那么 n就是 2 的幂

  • 假设 n 的二进制表示为 $(a10\cdots 0{)}_2$，其中 a表示若干个高位，1表示最低位的那个 1，$0\cdots 0$表示后面的若干个 0，那么 n−1 的二进制表示为：$(a01\cdots 1{)}_2$
  • 将 $(a10\cdots 0{)}_2$与 $(a01\cdots 1{)}_2$，进行按位与运算，高位 a 不变，在这之后的所有位都会变为 0，将最低位的那个 1 移除了

时间复杂度：$O(1)$

空间复杂度：$O(1)$

class Solution:# 方法1def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:return n > 0 and (n & (n - 1)) == 0# 方法2def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:return n > 0 and bin(n).count('1') == 1# 方法3def is_power_of_two(n):if not n: return False  # 排除=0情况if not n & (n - 1): return Truereturn False

2.2 二进制表示-n

思路1：直接获取 n二进制表示的最低位的 1

• n & (-n)，& 表示按位与运算

• −n是 n 的相反数，是一个负数;负数是按照补码规则在计算机中存储的，-n的二进制表示为n的二进制表示的每一位取反再加上 1

• 如果 n是正整数并且 n & (-n) = n，那么 n 就是 2 的幂。

  • n的二进制表示为 $(a10\cdots 0{)}_2$，其中 a 表示若干个高位，1 表示最低位的那个 1，$0\cdots 0$表示后面的若干个 0
  • −n 的二进制表示为$(aˉ01\cdots 1{)}_2+(1{)}_2=(ˉ10\cdots 0{)}_2$,$aˉ$ 表示将 a 每一位取反
  • $(a10\cdots 0{)}_2$与$(aˉ10\cdots 0{)}_2$进行按位与运算，高位全部变为 0，最低位的 1 以及之后的所有 0 不变，这样就获取了 n二进制表示的最低位的 1。

时间复杂度：$O(1)$
空间复杂度：$O(1)$

class Solution:def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:return n > 0 and (n & -n) == n

2.3 判断是否为最大 2 的幂的约数

取巧思路: 在题目给定的 32 位有符号整数的范围内，最大的 2 的幂为 $2^{30} = 10737418242 $,只需要判断 n 是否是 $2^{30}$的约数即可

• 时间复杂度：$O(1)$
  空间复杂度：$O(1)$

class Solution:BIG = 2**30def isPowerOfTwo(self, n: int) -> bool:return n > 0 and Solution.BIG % n == 0

3. 拓展-返回幂次

def is_power_of_two(n):b = bin(n)print(b)if n > 0 and b.count('1') == 1:return bin(n).count('0') - 1  # 0b所以要减1return Falseprint(is_power_of_two(1))  # 0b1
print(is_power_of_two(2))  # 0b10
print(is_power_of_two(4))  # 0b100