【题目】B. Invariance of Tree
【题意】给定n个数的置换，要求使n个点连成1棵树，满足u,v有边当且仅当a[u],a[v]有边，求一种方案或无解。n<=10^5。
【算法】数学 置换
【题解】置换可以分解成若干循环，那么两个点的连边本质上是两个循环之间的连边。
因为要求无环（树），易知所有循环长度必须为偶数（这里不包括最后的情况1）。
那么循环之间通过连边形成一棵树后，最后的问题是必须至少存在一个循环内部相互连边。（不可能通过循环之间的连边使得循环内部连边，否则循环之间的连边就会构成环）
即，至少存在一个循环的长度为1或2才能实现，其它所有循环都向这个中心循环连边就可以满足要求。
那么，有以下结论：
1.存在长度为1的循环，其它循环向其连边，得解。
2.存在长度为2的循环，且不存在>1的奇数长度的循环，其它循环向其连边（交替），得解。
3.否则，无解。
例如，(4,2,1,3)=>(1,2) (3,2) (4,2) (6,5,4,3,1,2)=>(1,3) (6,4) (2,3) (5, 4)
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=100010; int n,a[maxn],b[maxn]; bool vis[maxn]; int main(){scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);int x=0,y;for(int i=1;i<=n;i++)if(!vis[i]){int j=i,len=0,h=0;while(!vis[j]){vis[j]=1;len++;b[j]=h;h=1-h;j=a[j];}if(len==1)x=1,y=i;elseif(len==2&&x!=-1&&x!=1)x=2,y=i;elseif(len%2==1&&x!=1)x=-1;}if(x<=0){printf("NO");return 0;}if(x==1){printf("YES\n");for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=y)printf("%d %d\n",i,y);}else{printf("YES\n%d %d\n",y,a[y]);for(int i=1;i<=n;i++)if(i!=y&&i!=a[y])printf("%d %d\n",i,b[i]?y:a[y]);}return 0; }