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如果周期是2π2\pi2π并且绝对可积，那么可以算傅里叶级数。
计算傅里叶级数
求之前最好说一句是按段光滑的。
1.f(x)=a02+∑(1→∞)(ancos(nx)+bnsin(nx))f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum(1\to \infty)(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))f(x)=2a0+∑(1→∞)(ancos(nx)+bnsin(nx))
a0=1π∫−ππf(x)dxa_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dxa0=π1∫−ππf(x)dx
an=1π∫−ππf(x)cos(nx)dxa_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dxan=π1∫−ππf(x)cos(nx)dx
bn=1π∫−ππf(x)sin(nx)dxb_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dxbn=π1∫−ππf(x)sin(nx)dx
an,bn都是趋于0的
如果给的函数是0到2π2\pi2π那就算那个上面的积分。
2. 奇函数an=0，偶函数bn=0，不需要去算了
3.一般来说要用到分部积分法，把sinnxdx积出来，这个比较复杂，一定要小心。
4.cos(nπ)\cos(n\pi)cos(nπ)是(−1)n(-1)^n(−1)n,而不是1，这个要注意
傅里叶级数的收敛
收敛定理：f(x)f(x)f(x)按段光滑(在有限点不可导，其余可导)则一致收敛到了傅里叶级数。
这个证明及其烦有什么一大堆dini连续，holder连续，lip连续之类的，还有很多判别法，应该不会考。
还有一个判断傅里叶级数收敛的：就是把sincos放成1然后加绝对值的级数收敛，傅里叶级数一致收敛且绝对收敛。
计算的技巧
1.cosnx，sinnx，1在一个周期里与别人内积是0，与自己的内积是π\piπ
2.有(1-x)cosnx这种直接分布积分，无需换元
3.有关导数的这种，傅里叶级数逐项求导，方便。
周期2L的展开
给的是0到L上的，可以奇延展或者偶延展，或者直接原模原样的延展
傅里叶级数，如果是奇偶延拓，一定换到正半周期上来算，因为负半周期的函数式都变了.
公式虽然是上面这个，但是计算时候为了方便换到正半周期上算。不然要分段积分了。
如果是偶函数可以算0到L的2倍