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$\color{blue}{\S 4.4 Hamilton图}$

1859年，爱尔兰数学家Hamilton提出，问题主要涉及一个正十二面体，如下图。这是正则柏拉图体的一种，以12个正五边形为面，且这些正五边形的三边相交于20个顶点。Hamilton图用正12面体代表地球，在每个顶点标以城市名称:布鲁塞尔、广州、德里、法兰克福等。游戏的内容是：沿着正十二面体的棱寻找一条旅行线路，通过每个城市恰好一次又回到出发城市。这便是Hamilton回路问题。

${\color{blue}{4.4.1 Hamilton路}}$

$Hamilton图的必要条件$
$定义4.4.1.设G = (P, L)是有限图，(v_1, \cdots, v_n)是G中一条路。如果G中每点恰\\ 在此路中出现一次，则称此路为Hamilton路；如果G中每点，除v_1外，恰在此路\\ 中出现一次，而v_1 = v_n,则此路称为Hamilton回路。$

$定理4.4.2.设G = (P, L)是有限图，如果G中有一条Hamilton回路，\\ 则称G为Hamilton图。$

$任意两点都相邻的图称为{\color{blue}{完全图}}。$
$有m个节点构成的完全图是Hamilton图。m个节点构成的完全图通常记为K_m。$
$Hamilton路感兴趣的是图中的点，一条Hamilton路绝不会在两点之间走两次以上，\\ 因此，没有必要在有向图中讨论它，只要在图中讨论它即可。$
$一个邮递员，如果他的任务需要遍历某些特定的街道，那么他最好走一条Euler路;\\ 如果他的任务是联系某些特定的收发点，那么他最好走一条Hamilton路。$
$Euler路同Hamilton路相比较，前者要周游弧，后者要周游点。$

$定理4.4.1.如果图G = (P, L)是Hamilton图，则对P(G)的任一非空子集S，都有\\ W(G-S) \leq |S|,其中|S|表示集合S的元素数，G-S表示G中删除S中所有的点\\ 以及以S中的点为端点的所有边而剩下的图，W(G-S)表示图G-S的连通分支数。$
$证明：设C是G中的Hamilton回路，W(C-S) \leq |S| \\ 因为C是G的支撑子图，所以C-S是G-S的支撑子图。\\ 故W(G-S) \leq W(C-S)，故W(G-S) \leq |S|。$

$例如，将图1中点A,B,C的集合记为S，于是图1删除S，剩下的分支数是4，\\ 即W(图1-S) = 4,而|S| = 3。由定理4.4.1知，图1不是Hamilton图。\\ 定理4.4.1用于图2、图3得不出任何结论。$

${\color{blue}{4.4.2 Hamilton图的若干充分条件}}$

$定理4.4.2.若G = (P, L)是有限图，|P(G)| \geq 3, \delta \geq |P(G)|/2，则G是\\\\Hamilton图。其中|P(G)|表示图G中点数，\delta表示G中点的最小度。$
$令\gamma = |P(G)|，代表图G中点数。$
$证明：令\gamma = |P(G)|。\\ 反证法，假设G不是，不妨设G是满足\gamma \geq 3,\delta \geq \gamma /2的极大非Hamilton\\ 图(所谓极大是指:满足这个条件的其它非Hamilton图都是它的子图)。\\ 显然，G不是完全图。\\ 设u,v是G中不相邻的两个点，于是,G \cup \lbrace uv \rbrace是Hamilton图，\\ 且其中每条Hamilton回路都要通过边uv。\\ 因此，G中有起点u,终点为v的Hamilton路:(v_1, v_2, \cdots, v_{\gamma -1}, v_{\gamma})\\ 其中v_1 = u, v_{\gamma} = v。\\ 令S = \lbrace v_i | v_1v_{i+1} \in L(G) \rbrace, T = \lbrace v_i | v_iv_{\gamma} \in L(G) \rbrace。\\ 于是，S \cap T = \phi。\\ 否则，设v_j \in S \cap T。于是，(v_1, v_2, \cdots, v_j, v_{\gamma}, v_{\gamma - 1}, \cdots, v_{j+1}, v_1)是\\ G中一条Hamilton回路，且此回路不通过v_1v_{\gamma}(即uv)，矛盾。\\ 因此v,\gamma \notin S \cup T,故|S \cup T| < \gamma (其中|S \cup T|表示的S \cup T元数)。\\ 于是d(u) + d(v) = |S| + |T| = |S \cup T| < \gamma。\\ 故d(u), d(v) 中至少有一个小于\gamma/2，这于\delta \geq \gamma/2矛盾。\\ 故G是Hamilton图。$
$定理4.4.2只是一个充分性条件，它可以用于判定某些图是Hamilton图。\\ 但不是所有的Hamilton图都可以用它来判定。$

$例如，它无法用于图2，图3，虽然图2和图3是Hamilton图。$

$引理1.设G是有限图，u,v是G中不相邻的两点，并且满足:d(u) + d(v) \geq \gamma。\\ 则G是Hamilton图的充要条件是G \cup \lbrace uv \rbrace是Hamilton图。$
$证明：必要性显然。\\ 充分性，若G \cup \lbrace uv \rbrace是Hamilton图，而G不是，仿照定理4.4.2的证明，\\ 得到d(u) + d(v) < \gamma，矛盾。$

$定义4.4.3.设G是有限图，反复连接G中不相邻的并且其度之和小于\gamma的点，\\ 直到没有这样的点对为止。最后所得到的图称为G的闭合图，记为C(G)。$
$例如，下图是一个闭合图的过程。$

$引理2.有限图G的闭合图C(G)是唯一确定的。$
$证明：设G_1,G_2是G的两个闭合图。\\ \lbrace l_1, \cdots, l_m \rbrace, \lbrace f_1, \cdots, f_n \rbrace分别是加入G中得到G_1, G_2的边序列。\\ 往证：l_i \in L(G_2) (i = 1, \cdots, m), f_j \in L(G_1) (j = 1, \cdots, n)。\\ 若不然，设l_{k+1}(设其两个端点为u,v)是第一条(从左向右看)\\ 属于\lbrace l_1, \cdots, l_m \rbrace 而不属于L(G_2) 的边。\\ 令H = G \cup \lbrace l_1, \cdots, l_k \rbrace, 因为d_H(u) + d_H(v) \geq \gamma，而H是G_2的子图，\\ 所以d_{G2}(u) + d_{G2}(v) \geq \gamma\\ 而u,v在G_2中不相邻(注意：uv \notin L(G_2)),故上式与G_2定义矛盾。\\ 故所有l_i(i = 1, \cdots, m)都在L(G_2)中。\\ 同理可证，所有f_j(j = 1, \cdots, n)都在L(G_1)中。\\ 因此，G_1 = G_2。$

$定理4.4.3.有限图G是Hamilton图的充要条件是闭合图C(G)是Hamilton图。$
$证明：设图G加入边序列\lbrace l_1, \cdots, l_m \rbrace后，得闭合图C(G)。\\ 由引理1知，G是Hamilton图 \iff G \cup \lbrace l_1 \rbrace 是Hamilton图\\ \iff G \cup \lbrace l_1 \rbrace \cup \lbrace l_2 \rbrace 是Hamilton图\\ \iff G \cdots \\ \iff G \cup \lbrace l_1, \cdots, l_m \rbrace 是Hamilton图\\ 因此，G是Hamilton图当且仅当C(G)是Hamilton图。$

$推论：设G是有限图，若C(G)是完全的，则G是Hamilton图。$
$此推论可以推导出很多用点度来表达的关于图是Hamilton图的充要条件。$
$例如，当\delta \geq \gamma /2 时(\delta是图中点的最小度)，图中任意两点u,v都有\\ d(u) + d(v) \geq \gamma。故该图的闭合图是完全图，即该图是Hamilton图。\\ 由此可见，定理4.4.2实际上是此推论的一个特例。$

$定理4.4.4.设有限图G的度序列(即G的各点的度，按大小顺序排成的序列)为\\ (d_1, d_2, \cdots, d_{\gamma}),其中d_1 \leq d_2 \leq \cdots \leq d_{\gamma},\gamma \geq 3。如果不存在这样的m,\\ m < \gamma/2，并且得d_m \leq m,d_{\gamma - m} < \gamma - m，则G是Hamilton图。$
$证明：往证G的闭合图C(G)是完全图。\\ 用d(u)记点u在G中的度，用d^{\prime}(u)记点u在C(G)中的度。\\ 若C(G)不是完全的，\\ 设u,v是C(G)中使得d^{\prime}(u) + d^{\prime}(v)为最大的两个不相邻点。\\ 不妨设d^{\prime}(u) \leq d^{\prime}(v)。由C(G)的性质，d^{\prime}(u) + d^{\prime}(v) < \gamma。\\ 令S = \lbrace x | x \in P(G)并且x在C(G)中与v不相邻 \rbrace, \\ T = \lbrace x | x \in P(G)并且x在C(G)中与u不相邻 \rbrace,\\ 显然，|S| = \gamma - d^{\prime}(v), |T| = \gamma - d^{\prime}(u) \\ 注意，点u与自己算作不相邻。\\ 因为u \in T, v \in S, 但是d^{\prime}(u) \leq d^{\prime}(v), \\ 所以，由u,v的取法知，S - \lbrace v \rbrace中点的最大度为d^{\prime}(u),T中点的最大度为d^{\prime}(v)。\\ 令d^{\prime}(u) = m。\\ 于是，(C(G)中其度 \leq m的点数) \geq S - \lbrace v \rbrace 中的点数\\ = |S| - 1 \\ = \gamma - d^{\prime}(v) - 1 \\ > \gamma - (\gamma - d^{\prime}(u)) - 1 \\ = d^{\prime}(u) - 1 \\ = m - 1 \\ 即，C(G)中至少有m个点，其度最大为m。\\ 同理，(C(G)中其度 \leq m的点数) \\ \geq T中的点数 \\ = \gamma - d^{\prime}(u) \\ = \gamma - m \\ 即，C(G)中至少有\gamma - m个点，\\ 其度最大为d^{\prime}(v) < (\gamma - d^{\prime}(u)) = \gamma - m。\\ 由于G是C(G)的子图，故上述两个结论对G也成立，即G中至少有m个点，\\ 其度小于或等于m；至少有(\gamma - m)个点，其度小于(\gamma -m)。\\ 因此，必有d_m \leq m, d_{\gamma - m } < \gamma - m。\\ 而由d^{\prime}(u) \leq d^{\prime}(v)和d^{\prime}(u) + d^{\prime}(v) < \gamma知,d^{\prime}(u) < \gamma /2。\\ 即m < \gamma /2。这个m的存在与假设矛盾。\\ 故C(G)是完全的，由推论之，G是Hamilton图。$

$图2的度序列为:(d_1, d_2, d_3, d_4, d_5, d_6, d_7, d_8, d_9) = (3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 8, 8), \\ \gamma = 9, \gamma/2 = 4.5。显然，取m = 1, 2, 3, 4都不能同时满足d_m \leq m, \\ d_{\gamma - m} < \gamma - m。故由定理4.4.4知，图2是Hamilton图。$
$图3的度序列为：(d_1,d_2,d_3,d_4,d_5,d_6) = (2, 2, 2, 3, 3, 4)。取m=2,\\ 显然，m < \gamma /2, d_2 \leq 2, d_4 < 4。故定理4.4.4无法判断图3是否是\\ Hamilton图。可见定理4.4.4强于定理4.4.2，但不强于定理4.4.3。$

$定义4.4.4.实数序列(p_1, \cdots, p_n)称为由实数序列(q_1, \cdots, q_n)所增大，\\ 如果p_i \leq q_i,i = 1, \cdots, n。$
$定义4.4.5.设G，H是有限图。G称为被H度增大，如果|P(G)| = |P(H)|,\\ 并且G的不减度序列被H的不减度序列所增大。$
$定义4.4.6.设G，H是两个无公共点的有限图。将G的每个点和H的每个点都\\ 用边连接起来得到的图，称为G与H的连接图，记为：$

$定义4.4.7.设G，H是两个有限图，如果P(G) = P(H),并且对G，H中任意两点\\ u、v,u和v在G途中相邻当且仅当它们在H中不相邻，则称G是H的补图，H是G的\\ 补图，可以将G记为H^c，也可以将H记为G^c。用K_m表示有m个点组成的完全图。\\ 见如下三个图:\\$

$1 \leq m \leq n/2$
$从左到右顺序连接起来构成的连接图记为C_{m,n}。$
$例如$

$的具体图是$

$引理3.若1 \leq m < n/2，则图C_{m,n}是非Hamilton图。$
$证明：图C_{m,n}中K_m部分有m个点，令S是这m个点组成的集合。于是\\ W(C_{m,n} - S) = W(K_m^c) + W(K_{n-2m}) \\ = m + 1 \\ 故W(C_{m,n} - S) > |S|。由定理4.4.1知，C_{m,n}是非Hamilton图。$

$定理4.4.5.若G为非Hamilton图，\gamma \geq 3,则G由某个C_{m,\gamma}所度增大。\\ 其中\gamma是P(G)的元数。$
$证明：设G的不减度序列为(d_1, d_2, \cdots, d_{\gamma})。\\ 由定理4.4.4知，存在m < \gamma /2,使得d_m \leq m, d_{\gamma -m } < \gamma - m。\\ 故(d_1, d_2, \cdots, d_{\gamma})由序列:\\ (m, \cdots, m, \gamma - m - 1, \cdots, \gamma - m - 1, \gamma - 1, \cdots, \gamma - 1) \\ \qquad m个\qquad \qquad \gamma - 2m个 \qquad \qquad \qquad m个 \\ 所增大。\\ 显然，后一个序列正是图C_{m, \gamma}的度序列，\\ 故G由C_{m, \gamma}所度增大。$

$例：流动推销员问题：$
$我们给出世界六大城市之间的交通网，一个流动推销员希望访问这六个城市，\\ 最后再回到出发点，怎样安排旅行最节省时间？$
$这是一个带权的完全图中求一条有最小权的Hamilton回路的问题。对于求\\ 这种所谓最优Hamilton回路问题，目前还没有一个好的解决方法。下面介\\ 绍的方法，只能求出较好的Hamilton回路。$
$1)首先求出一条Hamilton回路C。\\ 2)用下面方法修改C，以得到更小权的Hamilton回路。\\ 设C = (v_1, v_2, \cdots, v_{\gamma}, v_1)是一条Hamilton回路，如果i+1 < j并且\\ w(v_iv_j) + w(v_{i+1}v_{j+1}) < w(v_iv_{i+1}) + w(v_jv_{j+1}) \\ 则Hamilton回路C_{ij}:\\ C_{ij} = (v_1, v_2, \cdots, v_j, v_j, v_{j-1}, \cdots, v_{i+1}, v_{j+1}, v_{j+2}, \cdots, v_{\gamma}, v_1) \\ 就是C的一个改进。$