$\color{blue}{第二章 赋范空间}$

$赋以欧氏距离的平面可作为赋范空间的典型例子.$
$从三方面来了解平面上的数学结构:$
$(1) 集合的结构:$
$平面上的点集是有序的实数组, x = (x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2.$
$(2) 代数结构:$
$在平面上定义了加法和数乘.$
$对任意的x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2,$
$\qquad x + y = (x_1 + y_1, x_2 + y_2),$
$对于任何实数\alpha, \alpha x = (\alpha x_1, \alpha x_2).$
$空间对加法、数乘封闭.$
$(3)拓扑结构:$
$对于$
$\qquad x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2) \in \mathbb{R}^2,$
$定义了距离:$
$\qquad d(x, y) = (|x_1 - y_1|^2 + |x_2 - y_2|^2) ^{\frac{1}{2}},$
$由此引出了“接近”、极限、开集等概念.$
$目的:把平面上向量的一些性质“类比”地推广到我们研究的空间中.$
$上一章我们在集合上赋以距离,定义了开集、闭集，给出了空间的拓扑结构.$
$这一章我们在线性空间(有时称为向量空间)上, 引进元素$
$长度的概念(随之引出距离的概念), 给出元素的“度量”,$
$形成我们称之为的赋范空间.$
$在\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^n空间中, 向量有长度(或模), 但在一般的线性空间$
$中(可能是无穷维空间), 向量的长度如何来定义呢?$
$我们希望从\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^n空间中向量的长度的基本性质,抽象$
$出我们要给出的“范数”定义.$
$首先我们从熟悉的\mathbb{R}^2, \mathbb{R}^n空间中向量长度开始讨论.$

$\color{blue}{\S 2.1 赋范空间的基本概念}$

$\color{blue}{2.1.1 赋范空间和Banach空间的定义}$

$赋范空间 \to 赋予了范数的线性空间.$
$“范数” \longleftrightarrow 向量的“模”.$
$在Euclid平面\mathbb{R}^2上：$
$点 x = (x_1, x_2) \to 长度记为\Vert x \Vert (或 |x|),$
$\qquad \Vert x \Vert = (x_1^2 + x_2^2)^{\frac{1}{2}},$
$即\Vert x \Vert = d(x, 0), 且 d(x, y) = \Vert x - y \Vert.$
$进一步在\mathbb{R}^n 中: 对于 x = (x_1, x_2, \cdots, x_n), 可以定义$
$\qquad \Vert x \Vert = d(x, 0) = (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2)^{\frac{1}{2}},$
$其中 d(x, 0) 是\mathbb{R}^n中点 x 到原点的距离.$
$\mathbb{R}^n中点x到原点的距离d(x, 0) 通常称之为向量的“模”,或者称为元素的“长度”.$
$且模和距离的关系为: d(x, y) = \Vert x - y \Vert.$
$向量的“模”的基本性质：对于任意的x, y \in \mathbb{R}^n, 有$
$(1) \Vert x \Vert = d(x, 0) \geq 0;$
$(2) \Vert x \Vert = d(x, 0) = 0 当且仅当 x = 0;$
$(3) \Vert x + y \Vert = d(x + y, 0) \leq d(x, 0) + d(y, 0) = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert;$
$(4) \Vert \alpha x \Vert = d(\alpha x, 0) = |\alpha| d(x, 0) = |\alpha| \Vert x \Vert.$
$我们将把这一概念推广到一般的线性空间，给出点或向量“模”(范数)的定义.$

$\color{blue}{定义2.1.1 X 是数域 \mathbb{K}上的线性空间, 函数\Vert \cdot \Vert : X \to \mathbb{R}满足: \\ i) \forall x \in X, \Vert x \Vert \geq 0 (非负性); \\ ii)\Vert x \Vert = 0 当且仅当 x = 0 (正定性); \\ iii)\forall x \in X, \alpha \in \mathbb{K}, \Vert \alpha x \Vert = |\alpha| \Vert x \Vert (正齐次); \\ iv)\forall x, y \in X, \Vert x + y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert (三角不等式). \\ 则称 \Vert \cdot \Vert 是X上的一个范数. }$

$\color{green}{定义了范数的线性空间称为赋范线性空间,或称为赋范空间,\\ 记为(X, \Vert \cdot \Vert)或简记为X.}$

$在\mathbb{R}^n中, 我们看到了范数和距离的关系.$
$一般地, 赋范空间有了范数可以自然地定义距离:$
$\qquad d(x, y) = \Vert x - y \Vert \quad (2.1.1)$
$有范数定义, 易验证d(x, y)是一个距离.$
$事实上, 对于 \forall x, y, z \in X, 有$
$(1) d(x, y) = \Vert x - y \Vert \geq 0;$
$(2) d(x, y) = \Vert x - y \Vert = 0 当且仅当 x = y;$
$(3) d(y, x) = \Vert y - x \Vert = |-1| \Vert x - y \Vert = \Vert x - y \Vert = d(x, y);$
$(4) d(x, y) = \Vert x - y \Vert \leq \Vert x - z \Vert + \Vert z - y \Vert = d(x, z) + d(z, y).$
$注1: 把(X, d)称为由范数诱导的距离空间.$
$可见, 赋范空间一定是距离空间.$
$今后凡说赋范空间的距离如无特殊说明都是指由范数诱导的距离.$
$注2:赋范空间有了距离就可以定义开集、闭集、收敛(极限)以及完备性等概念.$
$事实上, d(x_n, x) \to 0 即：\Vert x_n - x \Vert \to 0 (n \to \infty)$

$定义2.1.2 设\lbrace x_n \rbrace 是赋范空间X中的点列, x \in X.$
$如果 \Vert x_n - x \Vert \to 0 (n \to \infty),$
$则称\lbrace x_n \rbrace 按范数收敛到x, 记为 \lim \limits_{n \to \infty} x_n = x.$

$有了距离和收敛性, 我们引进泛函分析中十分重要的概念--Banach空间:$

$\color{blue}{定义2.1.3 完备的赋范空间称为Banach空间. }$

$注: 由于赋范空间就是距离空间, Banach空间是完备的距离空间,$
$因此具有完备距离空间的所有性质.$

$\color{blue}{2.1.2 范数的连续性}$

$定理2.1.4 设(X, \Vert \cdot \Vert) 是赋范空间, 则$
$(1) \forall x, y \in X, 有 | \Vert y \Vert - \Vert x \Vert | \leq \Vert y - x \Vert.$
$(2) 范数\Vert \cdot \Vert 是一个连续函数. 即$
$x_n \to x (n \to \infty) \Longrightarrow \Vert x_n \Vert \to \Vert x \Vert (n \to \infty)$
$(3)范数\Vert \cdot \Vert 对线性运算是连续的. 即$
$x_n \to x, y_n \to y \Longrightarrow x_n + y_n \to x+y, (n \to \infty)$
$\alpha_n \to \alpha, x_n \to x \Longrightarrow \alpha_n x_n \to \alpha x (n \to \infty)$
$利用按范数收敛的定义2.1.2来证明.$
$证明:(1)由三角不等式$
$\Vert y \Vert \leq \Vert y - x \Vert + \Vert x \Vert,$
$\Vert x \Vert \leq \Vert x - y \Vert + \Vert y \Vert = \Vert y - x \Vert + \Vert y \Vert,$
$可知| \Vert y \Vert - \Vert x \Vert | \leq \Vert y - x \Vert.$
$(2)由(1)知$
$\qquad | \Vert x_n \Vert - \Vert x \Vert | \leq \Vert x_n - x \Vert$
$由x_n \to x, 即: \Vert x_n - x \Vert \to 0, 可推出$
$\qquad \Vert x_n \Vert \to \Vert x \Vert (n \to \infty)$
$即: 范数 \Vert \cdot \Vert 是一个连续函数.$
$(3) 由于$
$\qquad \Vert x_n + y_n - x - y \Vert \leq \Vert x_n - x \Vert + \Vert y_n - y \Vert,$
$以及$
$\qquad \Vert \alpha_n x_n - \alpha x \Vert = \Vert \alpha_n x_n - \alpha_n x + \alpha_n x - \alpha x \Vert$
$\qquad \leq | \alpha_n| \Vert x_n - x \Vert + \Vert x \Vert | \alpha_n - \alpha|$
$因为|\alpha_n|有极限, 所以|\alpha_n|有界, 于是可证范数\Vert \cdot \Vert对线性运算连续.$
$注:这说明极限和范数可以交换顺序.$

$\color{blue}{2.1.3 范数与距离的关系}$

$问题:赋范空间一定是距离空间,$
$反过来,距离空间是不是一定是赋范空间?$
$赋范空间诱导出的距离空间有以下性质:$

$定理2.1.5 设X是赋范空间, d是由范数诱导的距离.$
$则对于任何的x , y, z \in X, \alpha \in \mathbb{K}, 都有$
$\qquad d(x, y) = d(x + z, y + z); \quad (2.1.2)$
$\qquad d(\alpha x, \alpha y) = |\alpha| d(x, y) \quad (2.1.3)$
$分析:利用范数与其诱导的距离之间的关系证明.$
$证明:$
$d(x + z, y + z) = \Vert (x + z) - (y + z) \Vert$
$\qquad = \Vert x - y \Vert = d(x, y);$
$d(\alpha x, \alpha y) = \Vert \alpha x - \alpha y \Vert = |\alpha| d(x, y)$
$注1:上述(2.1.2)和(2.1.3)是范数诱导出的距离需要满足的必要条件.$
$注2:(2.1.2)式反映了范数诱导的距离在“刚体运动”以后距离不变.$
$注3:(2.1.3)式反映了这种距离的某种“齐次”性质.$

$\color{red}{不是所有的距离都是由范数产生的.}$

$例2.1.6 空间s, 即全体实数列组成的集合上定义的距离:$
$\qquad d(x, y) = \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2^k} \dfrac{|\xi_k - \eta_k|}{1 + |\xi_k - \eta_k|}$
$其中x = \lbrace \xi_k \rbrace, y = \lbrace \eta_k\rbrace. s是距离空间.$
$考虑d(\alpha x, 0), 显然, 当x \neq 0, \alpha \neq 0 且 |\alpha| \neq 1时,有$
$\qquad d(\alpha x, 0) \neq |\alpha| d(x, 0)$
$可见, 这个距离d不满足(2.1.3)式.$
$因此空间s中的距离不是由任何一个范数诱导出来的.$