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一、白噪声

1.白噪声的概念

白噪声是随机信号中的一个概念，它的功率谱为常数，即在全频段都存在一个常数的功率谱

所以，白噪声是一种具有无限带宽的理想随机信号。相对的，我们称任意非白色噪声为有色噪声。

2.低通白噪声

随机过程 称为带宽为B的低通白噪声，它的功率谱为：

显然，是（宽带）白噪声通过单位增益的理想低通滤波器的输出，并可以得到：

由此可得，它的功率为：

3.白噪声通过系统

给定系统 ，白噪声通过他的输出 的功率谱和功率为：

二、噪声中的信号处理

通信中的基本问题是在有噪声的情况下接收信号，这需要研究最大化利用信号与最小化噪声影响的技术。平滑滤波是各种通信系统中普遍应用的一种消除噪声的技术；而匹配滤波是数字通信系统中抑制白噪声的最佳接收技术。

1.平滑滤波（理想低通滤波器的时域作用是平滑滤波）

通信系统中一种典型的情况是：当有用信号 受到加性白噪声 的污染，形成：

系统接收到后，希望用平滑滤波消除噪声。

假定滤波器的冲激相应为 ，其输出为：

与的误差

从频域上看，记

由此看出，理想低通滤波器是一个好的选择，其带宽为B。即信号带宽。

当通过理想低通滤波器时，噪声功率谱为，噪声功率为（为常数）

因为B已经达到最小（再小将损伤信号），误差的功率也达到最小。可见，滤波 在信号尽量完整的情况下滤掉了噪声。

2.匹配滤波器

数字通信的一个典型情况是：在含有加性噪声的接收信号中，准确检测出某个时间长度的已知信号是否存在。我们设计一个LTI滤波器来处理，希望处理后的输出信号最有利于判断是否存在。

 

通过《随机信号分析---3随机信号的时域自相关，互相关函数及性质！》匹配滤波器用到的就是相关运算的性质，周期信号的相关函数还是周期信号，白噪声的相关函数是一个冲激信号。

注意：匹配滤波器并不在乎是否造成信号的畸变，他只关心在某 时可以由他的输出有效的"认出" .为此将目标设定为：使 中的信号与噪声之比最大化，这样就可以作为信号的"征兆"。当他大于某个门限时，可以最有把握的认定的存在。

在加性白噪声 的环境中，有限时间信号的匹配滤波器为：

注意，匹配的意思是匹配想要检测出的信号。

匹配滤波器的冲激响应实际上是信号的反转平移形式，c与的取值以方便实际应用为主。如果的时间持续为0到T，则通常取

同时可以看出 ，他实际上就是一个相关运算。

匹配滤波器在时刻的最大输出信噪比为：