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特征值/特征向量的计算

首先如公式所示
$$A\upsilon =\lambda \upsilon$$
如果向量 $\upsilon$和 $\lambda$满足以上公式，那么他们可以分别叫做矩阵A的特征向量和特征值，至于特征向量和特征值的物理含义是什么，可以参考b站 3blue1brown的视频(天花板级讲解)

特征值分解(EVD)

同样摆出特征值分解的公式：
$$A=Q\sum Q^{-1}$$

特征值分解表示：如果A的方阵，那么可以分解为如上的右面所示的表达，其计算过程如下

1. 求出所有特征值和对应特征向量；
2. 所有特征向量构成的矩阵就是Q矩阵；
3. $\sum$就是所有特征值构成的对角矩阵。

问题1：那如果A是不是方阵的时候该怎么解决呢？这就引来了奇异值分解了

奇异值分解(SVD)

奇异值分解的公式如下
$$A=U\sum V^{-T}$$
这时的A就可以是任何$m\times n$的矩阵了，其中分解后的U矩阵是$m\times m$的方阵，而V矩阵是$n\times n$的方阵，$\sum$ 择是$m\times n$的对角矩阵。

具体计算步骤如下：

1. 求 $A{A}^{-T}$ 的特征值和特征向量，所有特征向量单位化后构成了U矩阵
2. 求 $A^{-T}A$ 的特征值和特征向量，所有特征向量单位化后构成了V矩阵
3. 求 $A{A}^{-T}$ 和 $A^{-T}A$ 的特征值的平方根，构成的斜对角矩阵为 $\sum$

PCA(主成分分析)

PCA是做数据降维的一种方法，其原理就是寻找一组能够最大限度表征原始信息的向量作为基。其具体计算过程如下：
对于要进行降维数据集A

1. 去平均值(即去中心化)，即每一位特征减去各自的平均值。
2. 计算协方差矩阵 $\frac{1}{n}A{A}^{-T}$
3. 计算协方差矩阵的特征值和特征向量
4. 对特征值从大到小排序，选择其中最大的k个。然后将其对应的k个特征向量分别作为行向量组成特征向量矩阵P
5. 所以降维后的数据X的表达为$Y=PX$。

  注：可以看得出来，PCA只是奇异值分解SVD中的一个子问题，因为其只好比只是求解了左半边的奇异矩阵U。就完成了对列的降维压缩。而在奇异值分解SVD中，还多了一步右奇异矩阵分解得到V，完成对行的压缩，可以看出SVD的数据降维是通过行和列上同时进行的，压缩得更狠。

问题2：在以上的奇异值分解中，要完成特征值特征向量的求解，首要前提是这个矩阵本身要稠密，但是现实的用户的打分(不一定打分)矩阵一定是稀疏的，就好比下图所示

那这个问题该如何解决呢，这就引出了一个伪SVD，也称为Funk SVD

Funk SVD

Funk SVD本质上就是把直接求解矩阵问题转换为最优化问题，具体的loss公式如下
$$loss={\left(y-U\sum V\right)}^2$$
其中y为用户对物品的实际打分，$UV$和$\sum$ 就是三个矩阵，具体含义可不用纠结，到后面再纠结。在求解的时候，先初始化三个矩阵，然后对有打分的位置求loss，没有打分的地方可以忽略，最终依旧可以求得三个矩阵，依旧可以计算出所有打分。

LFM

在Funk SVD中，需要求解三个矩阵，但是在实际的工程中，如果是基于一个用户打分矩阵进行分解的话，显然是分解为两个矩阵更好解释一些，一个为用户矩阵，一个为物品矩阵，对应行列相乘就是对应的打分情况，所以考虑将$\sum$ 融入到$UV$中，具体如下：
$$loss=\sum {\left(y-UV\right)}^2$$
这就是LFM隐语义模型，其他的计算原理和Funk SVD是一样的。

ALS

在LFM求解过程中，肯定是用梯度下降法进行参数更新，但是这里有俩矩阵，那每次更新是更新$U$矩阵还是$V$矩阵，还是两个都一起更新吗？这时候就引出了ALS,ALS全称叫交替最小二乘，他的操作是交替着更新矩阵，这一步固定$V$矩阵更新$U$矩阵，下一步固定$U$矩阵，更新$V$矩阵，就这么交替更新。

注：在隐语义模型中，这个隐语义可以理解为就是那个矩阵维度k，这个k如何选择是很巧妙的，诸如在用户的行为打分矩阵的分解中，这个k就好比是用户的爱好，你觉得用户有多少爱好，就可以设置多大的k。

Neural CF（NCF）

到了深度学习发展的阶段，NCF在LFM的基础上进行了扩展，在矩阵的求解过程中，不再是通过点乘来进行学习，而是直接将用户矩阵和物品矩阵送入到MLP中，进行充分的卷积来代替点乘，它的好处在于代替点乘的同时，可以对多个特征进行深度交叉。

但是这有一个隐患在里面，这种充分的特征交叉之后，可能会损失原来的信息，所以为此，又出来了个GMF

GMF

它的本质是重新加入两个用户矩阵和物品矩阵的点乘，不对其进行卷积，保留原来的信息。

以上就是为了保留原有特征而简单的进行的点乘，最终将如上的改进网络放入到整体的NCF中，最终版本的GMF如下所示。

上面的GMF Layer其实就是点乘。
这就是矩阵分解的一个发展历程，具体实现有空再写吧。