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本章内容是后面几章的基础，还是相当重要的，是历年考题的选择判断题的主打部分。
2.1 向量范数
首先会证明向量范数，就是证明正定性（||X||大于等于0，当且为0时取等）、齐次性（数值
通常2范数的证明，会用到柯西施瓦兹不等式，这在之后的矩阵范数证明中又会用到，而它最早是出现在第一章的内积空间中，你还有印象么（手动滑稽）
向量范数：1-范数、2-范数、无穷范数是常见的，分别是全部求和、平方项全部相加再开根号、选最大的元素
2.2 矩阵范数
关于矩阵范数，它是向量范数的推广，矩阵1-范数就是对所有元素求和，矩阵2-范数就是对所有元素的平方项求和在开根号，矩阵无穷范数就是找出最大的元素项
同时引入相容范数的概念
简单说下，相容性
相容性是对于诱导范数性质的推广或者说弱化，引进的主要目的还是为了方便不等式的缩放，给出简单的误差上界，或者说就是为了对变量进行一定程度的分离。因为最理想化的性质 ||AB|| = ||A|| ||B|| 一般不成立，所以只能退而求其次。
注意三角不等式 ||A+B|| <= ||A||+||B|| 又叫次可加性，而相容性 ||AB|| <= ||A|| ||B|| 又叫次可乘性，两种性质的技术用途大同小异。
最后说下（详见上图打钩处），矩阵2-范数又叫Frobenius范数，F-范数；通常表示：定义法（证明相容性时用）、特征值法（证明
酉不变性，在后面第三章的SVD分解中会用到，简单说就是引入酉矩阵后不影响范数的长度（下图）
Hermite矩阵可以相似化对角阵，正规阵（第三章会说）可以相似化三角矩阵。
2.3算子范数
算子范数的定义很好理解：由于
其中最常用的是谱范数，又叫算子2-范数。
注意特征值和奇异值还是有不少区别的：
（1）首先特征值只有方阵才有，奇异值只要是个矩阵就有。
（2）矩阵的奇异值与特征值有什么相似之处与区别之处？
同时谱范数和谱半径还是有区别的，只是有可能在某些情况下数值相等而已。
特别注意下，以上基本概念
在相容矩阵中，谱半径不大于任何一种矩阵范数，这个在选择题中非常好用。
然后就是算子1-范数，又叫极大列和，算子-无穷范数又叫极大行和。还是非常好记吧！！
最后，证明矩阵范数与向量范数相容，核心就是利用模和绝对值不等值的放缩（后面例题会具体解释下）
2.4 向量与矩阵范数的应用
说一个重要的思想，利用模来判断矩阵的可逆
构造Ax=0的形式，证明没非零解。
习题：
1.证明矩阵范数和向量与范数的相容
2.
利用F范数的定义进行放缩。
构造的思想，为了构造出类似于矩阵范数定义的形式，采用乘上E，展开成逆。还有些是加减一个数，来进行构造。
其他：
本题错误，因为矩阵无穷范数是不相容矩阵范，举出反例。
小结向量范数和矩阵范数的大小比较：
利用定义和不等式放缩还是很容易证明的，在此略去。
针对矩阵理论怎么学习，本文以考试和应用为导向，侧重概念的理解和套路的总结。
由于本人水平有限，有些解释不到位或者有纰漏的地方，还望指出。同时，字写的不好，还请见谅。
最后，由于不同学校不同老师出题风格和难度不同，该专栏只能帮助初学者在短时间内，更好的理解课本内容。最后的落脚还是要以书本和PPT为主。对于想取得高分的同学，务必熟悉书上的定义和主要定理的证明。
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